Kezdőlap


Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok
Szerző(k):	Kántor Sándor
Füzet:	1979/február, 69 - 70. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot fogunk elmondani, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldását nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatmegoldásokkal kapcsolatos mindennemű kérdésükkel forduljanak a szerkesztőséghez. A kérdésekre levélben válaszol a rovatvezető.

Összefüggések a háromszög adatai között

A feladatokban a háromszög adataira a szokásos jelöléseket alkalmazzuk. A háromszög csúcsai

A

B

C

; a csúcsoknál levő szögek rendre

α

β

γ

; a magasságpont

M

; a csúcsokból induló magasságvonalak hossza

m_{a}

m_{b}

és

m_{c}

. A háromszög kerülete

2 s

, a körülírt kör sugara

r

, a beírt kör sugara

ϱ

, végül az

A

-ból induló belső szögfelező a

B C

oldalt

G

-ben metszi.

Bizonyítsuk be az alábbiakat:

tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{ϱ}{s}

\frac{sin α + sin β + sin γ}{sin α sin β sin γ} = \frac{2 r}{ϱ}

3. Hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög (a magasságok talppontjai által meghatározott háromszög) kerülete

\frac{2 ϱ s}{r}

\frac{A B}{C M} + \frac{B C}{A M} + \frac{C A}{B M} = \frac{A B \cdot B C \cdot C A}{C M \cdot A M \cdot B M}

A G^{2} = A B \cdot A C - G B \cdot G C

A M \cdot B M \cdot C M \leq \frac{8}{27} m_{a} \cdot m_{b} \cdot m_{c}

2 ϱ \leq r

2 s \leq 3 \sqrt[]{3} r

m_{a} + m_{b} + m_{c} \geq 9 ϱ

10. Hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög minimális kerületű a beírt háromszögek között.