Cím: Megoldásvázlatok a 2005/1. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Gerőcs László 
Füzet: 2005/február, 76 - 80. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Az A és B helységek közötti távolság 14 részét egy kerékpáros 1 óra alatt tette meg, a hátralevő utat pedig 4 óra alatt. Sebességének mérőszáma (km/órában) mindkét szakaszon egész szám, melyek legkisebb közös többszöröse 72. Mekkora az AB távolság?  (11 pont)
 

Megoldás. Ha a kerékpáros az A és B helységek közötti távolság 14 részét 1 óra alatt tette meg, a hátralevő utat pedig 4 óra alatt, akkor az út első, ill. második szakaszán levő v1 és v2 sebességeinek aránya: v1v2=43.
Ez azt jelenti, hogy valamely k pozitív egész számra:
v1=4k,v2=3kés[4k;3k]=72=2332.
Ezek szerint k prímtényezős felbontásában szerepelnie kell egy db 2-esnek, egy db 3-asnak, és további prímeket már nem tartalmazhat. Tehát csak k=23=6 lehetséges.
Így v1=46=24, v2=36=18. A keresett távolság: 124+418=96 km.
 
2. a) Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert:
{11+tgx+11+ctgx=xyxy+4=2(x+y).(7 pont)

b) Egy számtani sorozat első tagja az egyenletrendszer x, y megoldása közül a nagyobbik, differenciája pedig a kisebbik. Hány kétjegyű pozitív egész tagja van a sorozatnak?  (6 pont)
 

Megoldás. a) Az első egyenletből
11+tgx+11+1tgx=11+tgx+tgxtgx+1=1+tgx1+tgx=1=xy,azazy=1x.
Ezzel a második egyenlet:
5=2(x+1x),  azaz  2x2-5x+2=0.
Az egyenletrendszer megoldása: x1=2, y1=12,  x2=12, y2=2.
b) Bármelyik megoldás esetében a kérdéses számtani sorozat első tagja 2, differenciája 12.
Ha 102+(n-1)1299, akkor 17n195. Ez összesen 195-16=179 tag. De ezek közül csak azok lesznek pozitív egészek, amelyekre n értéke páratlan, n=2k+1, azaz n=17,19,21,23,...,195. Ezek száma: 17+(k-1)2=195 alapján k=90. Tehát a kérdéses számtani sorozatnak 90 db kétjegyű pozitív egész tagja van.
 
3. Három falu közös polgármestert választ. Három jelölt (A, B és C) közül lehet választani. Az 1. faluban 2016, a 2.-ban 1320 választásra jogosult járult az urnákhoz. A kördiagramok az 1. és a 2. faluban született eredményeket szemléltetik. Sajnos a 3. faluban született eredményt szemléltető kördiagram elveszett.
 
 

A választás összesített végeredménye:
A  jelölt:  1599  szavazat,  B  jelölt:  2169  szavazat, C  jelölt:  1776  szavazat.

a) Készítsük el a 3. falu választási eredményét szemléltető kördiagramot.   (10 pont)

b) Hány lakosa van a 3. falunak, ha a falu lakosainak 72%-a volt választásra jogosult és a választásra jogosultak 56%-a vett részt a szavazáson?  (4 pont)

 
Megoldás. a) A megadott kördiagramok alapján az 1. és a 2. faluban a szavazatok száma:
1. falu  A: 588,  B: 588,  C: 840,2. falu  A: 275,  B: 385,  C: 660.
Az egyes jelöltek szavazatainak összegét levonva a végeredményből, megkapjuk a 3. falu választási eredményét: A: 736,  B: 1196,  C: 276 szavazat. Az ennek megfelelő kördiagram:
 
 

b) x0,720,56=2208, ahonnan x5476,2. Kerekítés után kapjuk, hogy a 3. falunak 5476 lakosa van.
 
4. Az ábrán egy falucska építendő kápolnájának díszítőeleme látható. Mekkora a besatírozott körök (üvegablakok) sugara, ha a külső negyedkörök sugara: r=80cm? (14 pont)

 
 

Megoldás. Ha x a keresett kör sugara, akkor az ábra megfelelő derékszögű háromszögeire felírva Pitagorasz tételét az alábbi egyenletekhez jutunk:
(r2+x)2=(r-x)2+y2és(r-x)2=x2+y2.
Azaz
(r2+x)2=(r-x)2+(r-x)2-x2.
Innen x=720r, tehát az üvegablakok sugara: 78020=28 cm.
 

 

II. rész
 

5. Legyen az A halmaz az (1), a B halmaz pedig a (2) kifejezés értelmezési tartománya:
(1)2sin2πx-cosπx-1,(2)lg(-3x2+17x-10).
Határozzuk meg
a) az AB halmaz elemeit;  (11 pont)

b) a B-A halmaz elemeit.  (5 pont)
 

Megoldás. a) Az A halmaz elemeit a 2sin2πx-cosπx-10 egyenlőtlenség megoldásai adják.
2(1-cos2πx)-cosπx-10,ahonnan-2cos2πx-cosπx+10.
E másodfokú egyenlőtlenség megoldása: -1cosπx12, azaz cosπx12.
π3+2kππx53π+2kπ,ahonnan13+2kx53+2k(kZ).
A B halmaz elemeit a -3x2+17x-10>0 egyenlőtlenség megoldása adja. A másodfokú kifejezés zérushelyei: 23 és 5, tehát a B halmaz elemei: 23<x<5.
Ábrázoljuk a két halmaz elemeit egy számegyenesen:
Az AB halmaz elemei:
{x:23<x53}{x:73x113}{x:133x<5}.

b) A B\A halmaz elemei:
{x:53<x<73}{x:113<x<133}.

 
6. A faltól 2 méterre levő, 2,4 méter magas szekrény sarkának M pontjában ül egy madár és az 1,2m magasságú ablakon át figyeli, amint egy bogár mászik az udvaron a ház falára merőleges irányban 0,8 méter/perc sebességgel. Az ablak alsó széle a földtől 0,8 méter magasan van. Mennyi ideig látja a madár a bogarat?  (16 pont)

 
 

Megoldás. Az ábra megfelelő hasonló háromszögeiből y0,8=y+22,4, ahonnan y=1 és x+y0,8+1,2=x+y+22,4, azaz x+12=x+32,4, ahonnan x=9 m.
Tehát a madár a bogarat
t=9m0,8mperc=11,25
percig látja.
 
7. Az f(x)=x2+ax+b és g(x)=x2+bx+a függvényekhez (a>b) pontosan egy olyan x0 hely található, melyben a függvények görbéjéhez tartozó érintők merőlegesek egymásra.
a) Ábrázoljuk a h(x)=f(x)-g(x) függvényt.  (8 pont)

b) Számítsuk ki az f(x) és g(x) függvények görbéje, valamint az y tengely által közbezárt terület nagyságát.  (8 pont)
 

Megoldás. a) A feltételek szerint az f'(x0)g'(x0)=-1 egyenletnek egy megoldása van. (2x0+a)(2x0+b)=-1, azaz 4x02+2x0(a+b)+ab+1=0. Ez utóbbi egyenletnek akkor és csak akkor van egy megoldása, ha diszkriminánsa 0.
4(a+b)2-16(ab+1)=0,ahonnan(a-b)2=4.
Mivel a>b, azért innen a-b=2, vagyis a=b+2. Ezzel
h(x)=x2+(b+2)x+b-x2-bx-b-2=2x-2.

b) A két grafikon metszéspontjának abszcisszája x=1; ha x<1, akkor g(x)>f(x). A keresett területet az ábra szemlélteti. A terület mérőszáma:
01[g(x)-f(x)]dx==01(x2+bx+b+2-x2-bx-2x-b)dx==01(2-2x)dx=[2x-x2]01=(2-1)-(0)=1.

 

8. András meglátott egy reklámújságban egy igen kedvező árú gesztenyenyuszit. Amikor meg akarta vásárolni, döbbenten tapasztalta, hogy a pénztárnál 66Ft híján az újságban feltüntetett ár kétszeresét számlázták. Miután panaszt tett, kiderült, hogy az újságban a háromjegyű ár első és harmadik számjegyét véletlenül felcserélték. Mennyit kell fizetnie Andrásnak, ha megveszi az árut?  (16 pont)
 

Megoldás. Ha András az újságban az abc¯ árat látta, akkor a feltételek szerint cba¯=2abc¯-66, azaz cba¯+66=2abc¯. A jobb oldal páros, így a-nak is párosnak kell lennie. a<6, ellenkező esetben ugyanis a jobb oldal 1200-nál nagyobb lenne. Tehát a=4 vagy a=2.
Ha a=4, akkor a bal oldal 0-ra végződik. Ekkor viszont c=5 lehet csak. De ez lehetetlen, hiszen a=4 esetén a jobb oldal 800-nál nagyobb, míg c=5 miatt a bal oldal kisebb, mint 700.
Ha a=2, akkor a bal oldal 8-ra végződik. Ekkor a jobb oldalon c=4 vagy c=9. De c=9 nem lehet, hiszen ekkor a bal oldal 900-nál nagyobb, míg a jobb oldal kisebb, mint 600. Tehát csak a=2, c=4 lehetséges. Ezekkel
4b2¯+66=22b4¯,azaz468+10b=408+20b,ahonnanb=6.

Tehát az újságban közölt összeg 264 Ft, míg a tényleges ár 462 Ft. Valóban: 2264-66=462.
 
9. a) Adott három párhuzamos egyenes; mindegyiken pirosra festettünk 5 pontot. Tekintsük az összes háromszöget, melyek csúcsai pirosak, két csúcsuk valamelyik egyenesen, a harmadik pedig egy másik egyenesen van; majd tekintsük az összes olyan piros csúcsú négyszöget, melyek két-két csúcsa egy-egy egyenesre illeszkedik. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből?  (6 pont)

b) Legyen most adva két párhuzamos egyenes; egyikükön n  (n2), a másikon pedig (n+1) piros pont. Ismét képezzük az összes háromszöget, illetve négyszöget, melyek csúcsai pirosak. Most miből van több, háromszögből vagy négyszögből?  (10 pont)
 

Megoldás. a) A háromszögek száma: 6(52)5=305!23!=300, a négyszögek száma: 3(52)2=3(5!)222(3!)2=32024=300. Tehát ugyanannyi háromszög keletkezik, mint négyszög.
b) A háromszögek száma: (n2)(n+1)+(n+12)n, a négyszögeké: (n2)(n+12).
Vizsgáljuk meg, milyen n-re lesz több háromszög, azaz oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget:
(n2)(n+1)+(n+12)n>(n2)(n+12),n!(n+1)2(n-2)!+(n+1)!n2(n-1)!>n!2(n-2)!(n+1)!2(n-1)!,(n-1)n(n+1)2+n2(n+1)2>(n-1)n2(n+1)4,n-12+n2>n(n-1)4,  ahonnan  0>n2-5n+2.


A másodfokú kifejezés zérushelyei: n1=5-1720,44, n2=5+1724,56.
Azt kaptuk, hogy ha n=2,3 vagy 4, akkor háromszögből lesz több, ha pedig n>4, akkor négyszögből.