A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Az és helységek közötti távolság részét egy kerékpáros óra alatt tette meg, a hátralevő utat pedig óra alatt. Sebességének mérőszáma (km/órában) mindkét szakaszon egész szám, melyek legkisebb közös többszöröse . Mekkora az távolság? (11 pont)
Megoldás. Ha a kerékpáros az és helységek közötti távolság részét 1 óra alatt tette meg, a hátralevő utat pedig 4 óra alatt, akkor az út első, ill. második szakaszán levő és sebességeinek aránya: . Ez azt jelenti, hogy valamely pozitív egész számra: | | Ezek szerint prímtényezős felbontásában szerepelnie kell egy db 2-esnek, egy db 3-asnak, és további prímeket már nem tartalmazhat. Tehát csak lehetséges. Így , . A keresett távolság: km.
2. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert: | | (7 pont) |
Egy számtani sorozat első tagja az egyenletrendszer , megoldása közül a nagyobbik, differenciája pedig a kisebbik. Hány kétjegyű pozitív egész tagja van a sorozatnak? (6 pont)
Megoldás. Az első egyenletből | | Ezzel a második egyenlet: | | Az egyenletrendszer megoldása: , , , . Bármelyik megoldás esetében a kérdéses számtani sorozat első tagja 2, differenciája . Ha , akkor . Ez összesen tag. De ezek közül csak azok lesznek pozitív egészek, amelyekre értéke páratlan, , azaz . Ezek száma: alapján . Tehát a kérdéses számtani sorozatnak 90 db kétjegyű pozitív egész tagja van.
3. Három falu közös polgármestert választ. Három jelölt , és közül lehet választani. Az 1. faluban , a 2.-ban választásra jogosult járult az urnákhoz. A kördiagramok az 1. és a 2. faluban született eredményeket szemléltetik. Sajnos a 3. faluban született eredményt szemléltető kördiagram elveszett.
A választás összesített végeredménye: | |
a) Készítsük el a 3. falu választási eredményét szemléltető kördiagramot. (10 pont)
b) Hány lakosa van a 3. falunak, ha a falu lakosainak 72%-a volt választásra jogosult és a választásra jogosultak 56%-a vett részt a szavazáson? (4 pont)
Megoldás. a) A megadott kördiagramok alapján az 1. és a 2. faluban a szavazatok száma:
1. falu A: 588, B: 588, C: 840,2. falu A: 275, B: 385, C: 660.
Az egyes jelöltek szavazatainak összegét levonva a végeredményből, megkapjuk a 3. falu választási eredményét: A: 736, B: 1196, C: 276 szavazat. Az ennek megfelelő kördiagram:
b) x⋅0,72⋅0,56=2208, ahonnan x≈5476,2. Kerekítés után kapjuk, hogy a 3. falunak 5476 lakosa van.
4. Az ábrán egy falucska építendő kápolnájának díszítőeleme látható. Mekkora a besatírozott körök (üvegablakok) sugara, ha a külső negyedkörök sugara: r=80cm? (14 pont)
Megoldás. Ha x a keresett kör sugara, akkor az ábra megfelelő derékszögű háromszögeire felírva Pitagorasz tételét az alábbi egyenletekhez jutunk: | (r2+x)2=(r-x)2+y2és(r-x)2=x2+y2. | Azaz | (r2+x)2=(r-x)2+(r-x)2-x2. | Innen x=720r, tehát az üvegablakok sugara: 7⋅8020=28 cm.
II. rész 5. Legyen az A halmaz az (1), a B halmaz pedig a (2) kifejezés értelmezési tartománya: | (1)2sin2πx-cosπx-1,(2)lg(-3x2+17x-10). | Határozzuk meg a) az A∩B halmaz elemeit; (11 pont)
b) a B-A halmaz elemeit. (5 pont)
Megoldás. a) Az A halmaz elemeit a 2sin2πx-cosπx-1≥0 egyenlőtlenség megoldásai adják. | 2(1-cos2πx)-cosπx-1≥0,ahonnan-2cos2πx-cosπx+1≥0. | E másodfokú egyenlőtlenség megoldása: -1≤cosπx≤12, azaz cosπx≤12. | π3+2kπ≤πx≤53π+2kπ,ahonnan13+2k≤x≤53+2k(k∈Z). | A B halmaz elemeit a -3x2+17x-10>0 egyenlőtlenség megoldása adja. A másodfokú kifejezés zérushelyei: 23 és 5, tehát a B halmaz elemei: 23<x<5. Ábrázoljuk a két halmaz elemeit egy számegyenesen: Az A∩B halmaz elemei: | {x:23<x≤53}∪{x:73≤x≤113}∪{x:133≤x<5}. |
b) A B\A halmaz elemei: | {x:53<x<73}∪{x:113<x<133}. |
6. A faltól 2 méterre levő, 2,4 méter magas szekrény sarkának M pontjában ül egy madár és az 1,2m magasságú ablakon át figyeli, amint egy bogár mászik az udvaron a ház falára merőleges irányban 0,8 méter/perc sebességgel. Az ablak alsó széle a földtől 0,8 méter magasan van. Mennyi ideig látja a madár a bogarat? (16 pont)
Megoldás. Az ábra megfelelő hasonló háromszögeiből y0,8=y+22,4, ahonnan y=1 és x+y0,8+1,2=x+y+22,4, azaz x+12=x+32,4, ahonnan x=9 m. Tehát a madár a bogarat percig látja.
7. Az f(x)=x2+ax+b és g(x)=x2+bx+a függvényekhez (a>b) pontosan egy olyan x0 hely található, melyben a függvények görbéjéhez tartozó érintők merőlegesek egymásra. a) Ábrázoljuk a h(x)=f(x)-g(x) függvényt. (8 pont)
b) Számítsuk ki az f(x) és g(x) függvények görbéje, valamint az y tengely által közbezárt terület nagyságát. (8 pont)
Megoldás. a) A feltételek szerint az f'(x0)⋅g'(x0)=-1 egyenletnek egy megoldása van. (2x0+a)(2x0+b)=-1, azaz 4x02+2x0(a+b)+ab+1=0. Ez utóbbi egyenletnek akkor és csak akkor van egy megoldása, ha diszkriminánsa 0. | 4(a+b)2-16(ab+1)=0,ahonnan(a-b)2=4. | Mivel a>b, azért innen a-b=2, vagyis a=b+2. Ezzel | h(x)=x2+(b+2)x+b-x2-bx-b-2=2x-2. |
b) A két grafikon metszéspontjának abszcisszája x=1; ha x<1, akkor g(x)>f(x). A keresett területet az ábra szemlélteti. A terület mérőszáma: | ∫01[g(x)-f(x)]dx==∫01(x2+bx+b+2-x2-bx-2x-b)dx==∫01(2-2x)dx=[2x-x2]01=(2-1)-(0)=1. |
8. András meglátott egy reklámújságban egy igen kedvező árú gesztenyenyuszit. Amikor meg akarta vásárolni, döbbenten tapasztalta, hogy a pénztárnál 66Ft híján az újságban feltüntetett ár kétszeresét számlázták. Miután panaszt tett, kiderült, hogy az újságban a háromjegyű ár első és harmadik számjegyét véletlenül felcserélték. Mennyit kell fizetnie Andrásnak, ha megveszi az árut? (16 pont)
Megoldás. Ha András az újságban az abc¯ árat látta, akkor a feltételek szerint cba¯=2⋅abc¯-66, azaz cba¯+66=2⋅abc¯. A jobb oldal páros, így a-nak is párosnak kell lennie. a<6, ellenkező esetben ugyanis a jobb oldal 1200-nál nagyobb lenne. Tehát a=4 vagy a=2. Ha a=4, akkor a bal oldal 0-ra végződik. Ekkor viszont c=5 lehet csak. De ez lehetetlen, hiszen a=4 esetén a jobb oldal 800-nál nagyobb, míg c=5 miatt a bal oldal kisebb, mint 700. Ha a=2, akkor a bal oldal 8-ra végződik. Ekkor a jobb oldalon c=4 vagy c=9. De c=9 nem lehet, hiszen ekkor a bal oldal 900-nál nagyobb, míg a jobb oldal kisebb, mint 600. Tehát csak a=2, c=4 lehetséges. Ezekkel | 4b2¯+66=2⋅2b4¯,azaz468+10b=408+20b,ahonnanb=6. |
Tehát az újságban közölt összeg 264 Ft, míg a tényleges ár 462 Ft. Valóban: 2⋅264-66=462.
9. a) Adott három párhuzamos egyenes; mindegyiken pirosra festettünk 5 pontot. Tekintsük az összes háromszöget, melyek csúcsai pirosak, két csúcsuk valamelyik egyenesen, a harmadik pedig egy másik egyenesen van; majd tekintsük az összes olyan piros csúcsú négyszöget, melyek két-két csúcsa egy-egy egyenesre illeszkedik. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből? (6 pont)
b) Legyen most adva két párhuzamos egyenes; egyikükön n (n≥2), a másikon pedig (n+1) piros pont. Ismét képezzük az összes háromszöget, illetve négyszöget, melyek csúcsai pirosak. Most miből van több, háromszögből vagy négyszögből? (10 pont)
Megoldás. a) A háromszögek száma: 6⋅(52)⋅5=30⋅5!2⋅3!=300, a négyszögek száma: 3⋅(52)2=3⋅(5!)222⋅(3!)2=3⋅2024=300. Tehát ugyanannyi háromszög keletkezik, mint négyszög. b) A háromszögek száma: (n2)⋅(n+1)+(n+12)⋅n, a négyszögeké: (n2)⋅(n+12). Vizsgáljuk meg, milyen n-re lesz több háromszög, azaz oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget: (n2)⋅(n+1)+(n+12)⋅n>(n2)⋅(n+12),n!(n+1)2(n-2)!+(n+1)!n2(n-1)!>n!2(n-2)!⋅(n+1)!2(n-1)!,(n-1)n(n+1)2+n2(n+1)2>(n-1)n2(n+1)4,n-12+n2>n(n-1)4, ahonnan 0>n2-5n+2.
A másodfokú kifejezés zérushelyei: n1=5-172≈0,44, n2=5+172≈4,56. Azt kaptuk, hogy ha n=2,3 vagy 4, akkor háromszögből lesz több, ha pedig n>4, akkor négyszögből. |