Cím:	Megoldásvázlatok a 2005/1. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Gerőcs László
Füzet:	2005/február, 76 - 80. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Az $A$ és $B$ helységek közötti távolság $\frac{1}{4}$ részét egy kerékpáros $1$ óra alatt tette meg, a hátralevő utat pedig $4$ óra alatt. Sebességének mérőszáma (km/órában) mindkét szakaszon egész szám, melyek legkisebb közös többszöröse $72$. Mekkora az $AB$ távolság?  (11 pont)   Megoldás. Ha a kerékpáros az $A$ és $B$ helységek közötti távolság $\frac{1}{4}$ részét 1 óra alatt tette meg, a hátralevő utat pedig 4 óra alatt, akkor az út első, ill. második szakaszán levő $v_1$ és $v_2$ sebességeinek aránya: $\frac{v_1}{v_2}=\frac{4}{3}$. Ez azt jelenti, hogy valamely $k$ pozitív egész számra: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=4k\mathrm{,}{v}_2=3k\text{és}\left[4k;3k\right]=72=2^3\cdot 3^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek szerint $k$ prímtényezős felbontásában szerepelnie kell egy db 2-esnek, egy db 3-asnak, és további prímeket már nem tartalmazhat. Tehát csak $k=2\cdot 3=6$ lehetséges. Így $v_1=4\cdot 6=24$, $v_2=3\cdot 6=18$. A keresett távolság: $1\cdot 24+4\cdot 18=96$ km.   2. $a)$ Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{1+\text{tg}x}+\frac{1}{1+\text{ctg}x}=xy}\hfill \\ {\displaystyle xy+4=2\left(x+y\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (7 pont) $b)$ Egy számtani sorozat első tagja az egyenletrendszer $x$, $y$ megoldása közül a nagyobbik, differenciája pedig a kisebbik. Hány kétjegyű pozitív egész tagja van a sorozatnak?  (6 pont)   Megoldás. $a)$ Az első egyenletből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{1+\text{tg}x}+\frac{1}{1+\frac{1}{\text{tg}x}}=\frac{1}{1+\text{tg}x}+\frac{\text{tg}x}{\text{tg}x+1}=\frac{1+\text{tg}x}{1+\text{tg}x}=1=xy\mathrm{,}\text{azaz}y=\frac{1}{x}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel a második egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 5=2\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{,}\text{ azaz }2x^2-5x+2=0.}\end{array}$ Az egyenletrendszer megoldása: $x_1=2$, $y_1=\frac{1}{2}$,  $x_2=\frac{1}{2}$, $y_2=2$. $b)$ Bármelyik megoldás esetében a kérdéses számtani sorozat első tagja 2, differenciája $\frac{1}{2}$. Ha $10\le 2+\left(n-1\right)\cdot \frac{1}{2}\le 99$, akkor $17\le n\le 195$. Ez összesen $195-16=179$ tag. De ezek közül csak azok lesznek pozitív egészek, amelyekre $n$ értéke páratlan, $n=2k+1$, azaz $n=\mathrm{17,19,21,23,}\text{...}\mathrm{,195}$. Ezek száma: $17+\left(k-1\right)\cdot 2=195$ alapján $k=90$. Tehát a kérdéses számtani sorozatnak 90 db kétjegyű pozitív egész tagja van.   3. Három falu közös polgármestert választ. Három jelölt $(\text{A}$, $\text{B}$ és $\text{C})$ közül lehet választani. Az 1. faluban $2016$, a 2.-ban $1320$ választásra jogosult járult az urnákhoz. A kördiagramok az 1. és a 2. faluban született eredményeket szemléltetik. Sajnos a 3. faluban született eredményt szemléltető kördiagram elveszett.     A választás összesített végeredménye: $a)$ Készítsük el a 3. falu választási eredményét szemléltető kördiagramot.   (10 pont) $b)$ Hány lakosa van a 3. falunak, ha a falu lakosainak $72\%$-a volt választásra jogosult és a választásra jogosultak $56\%$-a vett részt a szavazáson?  (4 pont)   Megoldás. $a)$ A megadott kördiagramok alapján az 1. és a 2. faluban a szavazatok száma: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{1. falu <span style="font-weight: bold;">A</span>: 588, <span style="font-weight: bold;">B</span>: 588, <span style="font-weight: bold;">C</span>: 840,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{2. falu <span style="font-weight: bold;">A</span>: 275, <span style="font-weight: bold;">B</span>: 385, <span style="font-weight: bold;">C</span>: 660.}}\hfill \end{array}}$ Az egyes jelöltek szavazatainak összegét levonva a végeredményből, megkapjuk a 3. falu választási eredményét: A: 736,  B: 1196,  C: 276 szavazat. Az ennek megfelelő kördiagram:     $b)$ $x\cdot 0\mathrm{,}72\cdot 0\mathrm{,}56=2208$, ahonnan $x\approx 5476\mathrm{,}2$. Kerekítés után kapjuk, hogy a 3. falunak 5476 lakosa van.   4. Az ábrán egy falucska építendő kápolnájának díszítőeleme látható. Mekkora a besatírozott körök (üvegablakok) sugara, ha a külső negyedkörök sugara: $r=80\text{cm}$? (14 pont)     Megoldás. Ha $x$ a keresett kör sugara, akkor az ábra megfelelő derékszögű háromszögeire felírva Pitagorasz tételét az alábbi egyenletekhez jutunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{r}{2}+x\right)}^2={\left(r-x\right)}^2+y^2\text{és}{\left(r-x\right)}^2=x^2+y^2\mathrm{.}}\end{array}$ Azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{r}{2}+x\right)}^2={\left(r-x\right)}^2+{\left(r-x\right)}^2-x^2\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $x=\frac{7}{20}r$, tehát az üvegablakok sugara: $\frac{7\cdot 80}{20}=28$ cm.     II. rész   5. Legyen az $A$ halmaz az $\left(1\right)$, a $B$ halmaz pedig a $\left(2\right)$ kifejezés értelmezési tartománya: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1\right)\sqrt[]{2\text{sin}{}^2\pi x-\text{cos}\pi x-1}\mathrm{,}\left(2\right)\text{lg}\left(-3x^2+17x-10\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Határozzuk meg $a)$ az $A\cap B$ halmaz elemeit;  (11 pont) $b)$ a $B-A$ halmaz elemeit.  (5 pont)   Megoldás. $a)$ Az $A$ halmaz elemeit a $2\text{sin}{}^2\pi x-\text{cos}\pi x-1\ge 0$ egyenlőtlenség megoldásai adják. $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\left(1-\text{cos}{}^2\pi x\right)-\text{cos}\pi x-1\ge \mathrm{0,}\text{ahonnan}-2\text{cos}{}^2\pi x-\text{cos}\pi x+1\ge 0.}\end{array}$ E másodfokú egyenlőtlenség megoldása: $-1\le \text{cos}\pi x\le \frac{1}{2}$, azaz $\text{cos}\pi x\le \frac{1}{2}$. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\pi }{3}+2k\pi \le \pi x\le \frac{5}{3}\pi +2k\pi \mathrm{,}\text{ahonnan}\frac{1}{3}+2k\le x\le \frac{5}{3}+2k\left(k\in \text{Z}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A $B$ halmaz elemeit a $-3x^2+17x-10>0$ egyenlőtlenség megoldása adja. A másodfokú kifejezés zérushelyei: $\frac{2}{3}$ és 5, tehát a $B$ halmaz elemei: $\frac{2}{3}<x<5$. Ábrázoljuk a két halmaz elemeit egy számegyenesen: Az $A\cap B$ halmaz elemei: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left\{x:\frac{2}{3}<x\le \frac{5}{3}\right\}\cup \left\{x:\frac{7}{3}\le x\le \frac{11}{3}\right\}\cup \left\{x:\frac{13}{3}\le x<5\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ A $B\backslash A$ halmaz elemei: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left\{x:\frac{5}{3}<x<\frac{7}{3}\right\}\cup \left\{x:\frac{11}{3}<x<\frac{13}{3}\right\}\mathrm{.}}\end{array}$   6. A faltól $2$ méterre levő, $2\mathrm{,}4$ méter magas szekrény sarkának $M$ pontjában ül egy madár és az $1\mathrm{,}2\text{m}$ magasságú ablakon át figyeli, amint egy bogár mászik az udvaron a ház falára merőleges irányban $0\mathrm{,}8$ méter/perc sebességgel. Az ablak alsó széle a földtől $0\mathrm{,}8$ méter magasan van. Mennyi ideig látja a madár a bogarat?  (16 pont)     Megoldás. Az ábra megfelelő hasonló háromszögeiből $\frac{y}{0\mathrm{,}8}=\frac{y+2}{2\mathrm{,}4}$, ahonnan $y=1$ és $\frac{x+y}{0\mathrm{,}8+1\mathrm{,}2}=\frac{x+y+2}{2\mathrm{,}4}$, azaz $\frac{x+1}{2}=\frac{x+3}{2\mathrm{,}4}$, ahonnan $x=9$ m. Tehát a madár a bogarat $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{9\text{m}}{0\mathrm{,}8\frac{\text{m}}{\text{perc}}}=11\mathrm{,}25}\end{array}$ percig látja.   7. Az $f\left(x\right)=x^2+ax+b$ és $g\left(x\right)=x^2+bx+a$ függvényekhez $\left(a>b\right)$ pontosan egy olyan $x_0$ hely található, melyben a függvények görbéjéhez tartozó érintők merőlegesek egymásra. $a)$ Ábrázoljuk a $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ függvényt.  (8 pont) $b)$ Számítsuk ki az $f\left(x\right)$ és $g\left(x\right)$ függvények görbéje, valamint az $y$ tengely által közbezárt terület nagyságát.  (8 pont)   Megoldás. $a)$ A feltételek szerint az $f\text{'}\left(x_0\right)\cdot g\text{'}\left(x_0\right)=-1$ egyenletnek egy megoldása van. $\left(2x_0+a\right)\left(2x_0+b\right)=-1$, azaz $4x_0^2+2x_0\left(a+b\right)+ab+1=0$. Ez utóbbi egyenletnek akkor és csak akkor van egy megoldása, ha diszkriminánsa 0. $\begin{array}{c}{\displaystyle 4{\left(a+b\right)}^2-16\left(ab+1\right)=\mathrm{0,}\text{ahonnan}{\left(a-b\right)}^2=4.}\end{array}$ Mivel $a>b$, azért innen $a-b=2$, vagyis $a=b+2$. Ezzel $\begin{array}{c}{\displaystyle h\left(x\right)=x^2+\left(b+2\right)x+b-x^2-bx-b-2=2x-2.}\end{array}$ $b)$ A két grafikon metszéspontjának abszcisszája $x=1$; ha $x<1$, akkor $g\left(x\right)>f\left(x\right)$. A keresett területet az ábra szemlélteti. A terület mérőszáma: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+bx+b+2-x^2-bx-2x-b\right)dx=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2-2x\right)dx={\left[2x-x^2\right]}_0^1=\left(2-1\right)-\left(0\right)=1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   8. András meglátott egy reklámújságban egy igen kedvező árú gesztenyenyuszit. Amikor meg akarta vásárolni, döbbenten tapasztalta, hogy a pénztárnál $66\text{Ft}$ híján az újságban feltüntetett ár kétszeresét számlázták. Miután panaszt tett, kiderült, hogy az újságban a háromjegyű ár első és harmadik számjegyét véletlenül felcserélték. Mennyit kell fizetnie Andrásnak, ha megveszi az árut?  (16 pont)   Megoldás. Ha András az újságban az $\overline{abc}$ árat látta, akkor a feltételek szerint $\overline{cba}=2\cdot \overline{abc}-66$, azaz $\overline{cba}+66=2\cdot \overline{abc}$. A jobb oldal páros, így $a$-nak is párosnak kell lennie. $a<6$, ellenkező esetben ugyanis a jobb oldal 1200-nál nagyobb lenne. Tehát $a=4$ vagy $a=2$. Ha $a=4$, akkor a bal oldal 0-ra végződik. Ekkor viszont $c=5$ lehet csak. De ez lehetetlen, hiszen $a=4$ esetén a jobb oldal 800-nál nagyobb, míg $c=5$ miatt a bal oldal kisebb, mint 700. Ha $a=2$, akkor a bal oldal 8-ra végződik. Ekkor a jobb oldalon $c=4$ vagy $c=9$. De $c=9$ nem lehet, hiszen ekkor a bal oldal 900-nál nagyobb, míg a jobb oldal kisebb, mint 600. Tehát csak $a=2$, $c=4$ lehetséges. Ezekkel $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{4b2}+66=2\cdot \overline{2b4}\mathrm{,}\text{azaz}468+10b=408+20b\mathrm{,}\text{ahonnan}b=6.}\end{array}$ Tehát az újságban közölt összeg 264 Ft, míg a tényleges ár 462 Ft. Valóban: $2\cdot 264-66=462$.   9. $a)$ Adott három párhuzamos egyenes; mindegyiken pirosra festettünk $5$ pontot. Tekintsük az összes háromszöget, melyek csúcsai pirosak, két csúcsuk valamelyik egyenesen, a harmadik pedig egy másik egyenesen van; majd tekintsük az összes olyan piros csúcsú négyszöget, melyek két-két csúcsa egy-egy egyenesre illeszkedik. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből?  (6 pont) $b)$ Legyen most adva két párhuzamos egyenes; egyikükön $n$  $\left(n\ge 2\right)$, a másikon pedig $\left(n+1\right)$ piros pont. Ismét képezzük az összes háromszöget, illetve négyszöget, melyek csúcsai pirosak. Most miből van több, háromszögből vagy négyszögből?  (10 pont)   Megoldás. $a)$ A háromszögek száma: $6\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot 5=30\cdot \frac{5!}{2\cdot 3!}=300$, a négyszögek száma: $3\cdot {\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}^2=3\cdot \frac{{\left(5!\right)}^2}{2^2\cdot {\left(3!\right)}^2}=3\cdot \frac{{20}^2}{4}=300$. Tehát ugyanannyi háromszög keletkezik, mint négyszög. $b)$ A háromszögek száma: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot \left(n+1\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)\cdot n$, a négyszögeké: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)$. Vizsgáljuk meg, milyen $n$-re lesz több háromszög, azaz oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot \left(n+1\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)\cdot n>\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{n!\left(n+1\right)}{2\left(n-2\right)!}+\frac{\left(n+1\right)!n}{2\left(n-1\right)!}>\frac{n!}{2\left(n-2\right)!}\cdot \frac{\left(n+1\right)!}{2\left(n-1\right)!}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{2}+\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}>\frac{\left(n-1\right)n^2\left(n+1\right)}{4}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{n-1}{2}+\frac{n}{2}>\frac{n\left(n-1\right)}{4}\mathrm{,}\text{ ahonnan }0>n^2-5n+2.}\hfill \end{array}}$ A másodfokú kifejezés zérushelyei: $n_1=\frac{5-\sqrt[]{17}}{2}\approx 0\mathrm{,}44$, $n_2=\frac{5+\sqrt[]{17}}{2}\approx 4\mathrm{,}56$. Azt kaptuk, hogy ha $n=\mathrm{2,3}$ vagy 4, akkor háromszögből lesz több, ha pedig $n>4$, akkor négyszögből.