Cím: Emeltszintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Pataki János 
Füzet: 2005/február, 74 - 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. a) A=10110099, B=99100101. Melyik szám a nagyobb, A vagy B?  (7 pont)

b) Írja föl az f(x)=x2 függvény azon érintőjének az egyenletét, amelyik az x-tengely pozitív félegyenesével 60-os szöget zár be.  (6 pont)

 
2. Hol a hiba az alábbi okoskodásokban? Mi az egyenlet megoldása az a) esetben és mennyi a szóban forgó valószínűség a b) kérdésben?
a) A x=-x egyenletnek nincs megoldása, mert egy szám négyzetgyöke nem lehet negatív.  (4 pont)

b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy hét szabályos kockát feldobva van 1-es a számok között? Annak a valószínűsége, hogy egyetlen szabályos kockával 1-est dobunk, 16. Eszerint annak a valószínűsége, hogy két szabályos kockát feldobva van 1-es a kijött számok között, kétszer ennyi, 13; így tehát a kérdéses valószínűség 7-szer ennyi, 76, az esemény bekövetkezése több, mint bizonyos.  (5 pont)

c) Egy méter 100 centiméter, tehát 14méter=25centiméter. Az 14 négyzetgyöke 12, a 25 négyzetgyöke 5, tehát 12méter=5centiméter.  (4 pont)
 

3. Egy trapéz magassága, egyik, illetve másik átlója ebben a sorrendben egy q=2 hányadosú mértani sorozat három szomszédos tagja. A trapéz területe T=60+12 területegység. Mekkora a trapéz magassága?  (12 pont)
 

4. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán:
a) 2x4x2+1.  (5 pont)

b) 2cos2xcosx+1.  (8 pont)

 

II. rész
 

5. a) A pozitív egész A és B számok összege 1000. Igazolja, hogy A2 utolsó három számjegye egyenlő B2 utolsó három számjegyével.  (4 pont)

b) Adjon meg olyan pozitív egész A és B számokat, amelyek összege 1000 és A2 utolsó négy számjegye egyenlő B2 utolsó négy számjegyével.  (3 pont)

c) Hány pozitív osztója van a H=224-1 számnak?  (9 pont)
 

6. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek ezüstből vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst, az aranytárgyak 80%-a érme.
a) A dobozban lévő tárgyak hány százaléka arany pénzérme?  (4 pont)

b) A dobozból véletlenszerűen kihúzunk egy tárgyat. Mekkora a valószínűsége, hogy ez a tárgy ezüstből készült?  (4 pont)

c) A dobozból véletlenszerűen kihúzunk egy golyót. Mekkora a valószínűsége, hogy ez a golyó ezüstből készült?  (4 pont)

d) Értelmezze a b) és a c) feladatok eredményét a következő eseményekre: E: a kihúzott tárgy ezüstből van; G: a kihúzott tárgy golyó.  (4 pont)
 

7. Egy számtani sorozat első tagja 9, a kilencedik tagja pedig 33.
a) Határozza meg a fenti számtani sorozat azon tagjainak az összegét, amelyek 149 és 301 között vannak.  (10 pont)

b) Mennyi a sorozat első huszonöt elemének a négyzetösszege?  (6 pont)
 

8. Egy klinikán olyan betegség kimutatására végeznek vérvizsgálatot, amelyikben száz ember közül átlagosan egy szenved. A vizsgálati személyek ötvenes csoportokban érkeznek és az eddigi gyakorlat szerint egyesével végzik el rajtuk a tesztet. Egyetlen vérminta vizsgálata 300 forintba kerül.
A klinika vezetője két módosító javaslatot kapott:
A) Egy-egy 50-es csoport vérmintáinak egy részét azonosítható módon tegyék félre, a másik részeket pedig öntsék össze és vizsgálják először a csoportos mintát. Ha ez negatív, akkor nyilván mindenki egészséges, ha pozitív, akkor a félretett egyéni mintákat vizsgálják egyesével.
B) Az A) javaslathoz hasonlóan először az 50-es csoport együttes vérmintáját vizsgálják meg. Ha ez pozitív, akkor minden egyes félretett egyéni minta feléből két 25-fős, csoportos mintát készítenek és ezeket ismét együttesen vizsgálják. Ha bármelyik csoport pozitívnak bizonyul, akkor annak a csoportnak a tagjait egyesével szűrik.
A klinika vezetőjeként változtatna-e az addigi gyakorlaton? Ha igen, akkor hogyan és miért?  (16 pont)
 

9. Az alábbi feladatok megoldása során kalkulátor nem használható. Eredményeit indokolja.
a) 1. Írja föl az (1+x)10 hatvány kifejtésének első négy tagjának összegét az x növekvő hatványai szerint rendezve.  (2 pont)

2. A talált kifejezés alapján adjon közelítést 1,00510 értékére.  (1 pont)

3. Igazolja, hogy az így kapott közelítés négy tizedesjegyre pontos.  (5 pont)

b) 1. Ábrázolja az f(x)=1500x+1500x-2 függvény grafikonját, ha x>1000.  (2 pont)

2. Határozza meg az
1500x+1500x-2=3x10000
egyenlet pozitív megoldásának az egész részét.  (6 pont)