Cím:	Emeltszintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Pataki János
Füzet:	2005/február, 74 - 75. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. $a)$ $A={101}^{{100}^{99}}$, $B={99}^{{100}^{101}}$. Melyik szám a nagyobb, $A$ vagy $B$?  (7 pont) $b)$ Írja föl az $f\left(x\right)=x^2$ függvény azon érintőjének az egyenletét, amelyik az $x$-tengely pozitív félegyenesével ${60}^{\circ }$-os szöget zár be.  (6 pont)   2. Hol a hiba az alábbi okoskodásokban? Mi az egyenlet megoldása az $a)$ esetben és mennyi a szóban forgó valószínűség a $b)$ kérdésben? $a)$ A $\sqrt[]{x}=-x$ egyenletnek nincs megoldása, mert egy szám négyzetgyöke nem lehet negatív.  (4 pont) $b)$ Mennyi annak a valószínűsége, hogy hét szabályos kockát feldobva van 1-es a számok között? Annak a valószínűsége, hogy egyetlen szabályos kockával 1-est dobunk, $\frac{1}{6}$. Eszerint annak a valószínűsége, hogy két szabályos kockát feldobva van 1-es a kijött számok között, kétszer ennyi, $\frac{1}{3}$; így tehát a kérdéses valószínűség 7-szer ennyi, $\frac{7}{6}$, az esemény bekövetkezése több, mint bizonyos.  (5 pont) $c)$ Egy méter 100 centiméter, tehát $\frac{1}{4}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">méter</span>}=25\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">centiméter</span>}$. Az $\frac{1}{4}$ négyzetgyöke $\frac{1}{2}$, a $25$ négyzetgyöke $5$, tehát $\frac{1}{2}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">méter</span>}=5\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">centiméter</span>}$.  (4 pont)   3. Egy trapéz magassága, egyik, illetve másik átlója ebben a sorrendben egy $q=2$ hányadosú mértani sorozat három szomszédos tagja. A trapéz területe $T=\sqrt[]{60}+\sqrt[]{12}$ területegység. Mekkora a trapéz magassága?  (12 pont)   4. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: $a)$ $2x^4\le x^2+1$.  (5 pont) $b)$ $2\text{cos}{}^{2}x\ge \text{cos}x+1$.  (8 pont)   II. rész   5. $a)$ A pozitív egész $A$ és $B$ számok összege 1000. Igazolja, hogy $A^2$ utolsó három számjegye egyenlő $B^2$ utolsó három számjegyével.  (4 pont) $b)$ Adjon meg olyan pozitív egész $A$ és $B$ számokat, amelyek összege 1000 és $A^2$ utolsó négy számjegye egyenlő $B^2$ utolsó négy számjegyével.  (3 pont) $c)$ Hány pozitív osztója van a $H=2^{24}-1$ számnak?  (9 pont)   6. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek ezüstből vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak $20\%$-a golyó, a pénzérmék $40\%$-a ezüst, az aranytárgyak $80\%$-a érme. $a)$ A dobozban lévő tárgyak hány százaléka arany pénzérme?  (4 pont) $b)$ A dobozból véletlenszerűen kihúzunk egy tárgyat. Mekkora a valószínűsége, hogy ez a tárgy ezüstből készült?  (4 pont) $c)$ A dobozból véletlenszerűen kihúzunk egy golyót. Mekkora a valószínűsége, hogy ez a golyó ezüstből készült?  (4 pont) $d)$ Értelmezze a $b)$ és a $c)$ feladatok eredményét a következő eseményekre: $E$: a kihúzott tárgy ezüstből van; $G$: a kihúzott tárgy golyó.  (4 pont)   7. Egy számtani sorozat első tagja 9, a kilencedik tagja pedig 33. $a)$ Határozza meg a fenti számtani sorozat azon tagjainak az összegét, amelyek 149 és 301 között vannak.  (10 pont) $b)$ Mennyi a sorozat első huszonöt elemének a négyzetösszege?  (6 pont)   8. Egy klinikán olyan betegség kimutatására végeznek vérvizsgálatot, amelyikben száz ember közül átlagosan egy szenved. A vizsgálati személyek ötvenes csoportokban érkeznek és az eddigi gyakorlat szerint egyesével végzik el rajtuk a tesztet. Egyetlen vérminta vizsgálata 300 forintba kerül. A klinika vezetője két módosító javaslatot kapott: $A)$ Egy-egy 50-es csoport vérmintáinak egy részét azonosítható módon tegyék félre, a másik részeket pedig öntsék össze és vizsgálják először a csoportos mintát. Ha ez negatív, akkor nyilván mindenki egészséges, ha pozitív, akkor a félretett egyéni mintákat vizsgálják egyesével. $B)$ Az $A)$ javaslathoz hasonlóan először az 50-es csoport együttes vérmintáját vizsgálják meg. Ha ez pozitív, akkor minden egyes félretett egyéni minta feléből két 25-fős, csoportos mintát készítenek és ezeket ismét együttesen vizsgálják. Ha bármelyik csoport pozitívnak bizonyul, akkor annak a csoportnak a tagjait egyesével szűrik. A klinika vezetőjeként változtatna-e az addigi gyakorlaton? Ha igen, akkor hogyan és miért?  (16 pont)   9. Az alábbi feladatok megoldása során kalkulátor nem használható. Eredményeit indokolja. $a)$ 1. Írja föl az ${\left(1+x\right)}^{10}$ hatvány kifejtésének első négy tagjának összegét az $x$ növekvő hatványai szerint rendezve.  (2 pont) 2. A talált kifejezés alapján adjon közelítést $1\mathrm{,}{005}^{10}$ értékére.  (1 pont) 3. Igazolja, hogy az így kapott közelítés négy tizedesjegyre pontos.  (5 pont) $b)$ 1. Ábrázolja az $f\left(x\right)=\frac{1500x+1}{500x-2}$ függvény grafikonját, ha $x>1000$.  (2 pont) 2. Határozza meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1500x+1}{500x-2}=\frac{3x}{10000}}\end{array}$ egyenlet pozitív megoldásának az egész részét.  (6 pont)