Cím: Mérőlapok felvételire III
Szerző(k):  Appel György 
Füzet: 1979/március, 100 - 101. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alább közölt négy feladat, amelyet dr. Pál Jenő tanársegéd állított össze, az elmúlt néhány év felvételi feladatsorainak legnehezebb feladataival egyenlő nehézségű. A feladatok megoldásai beküldhetők. A dolgozatok javítását és értékelését a TTK V. éves mat.-fiz. Szakos tanárjelöltjeinek egy csoportja vállalta Appel György tanár vezetésével. A beküldött és kijavított dolgozatokat visszaküldik mindazoknak, akik mellékelnek egy felbélyegzett válaszborítékot saját nevükre és címükre kitöltve. Kérjük a beküldőket, hogy minden feladatot külön lapra írjanak. Minden lapra írják fel a nevüket és a feladat számát.
A feladatok megoldása természetesen nem számít bele a felvételi pontszámaiba. A tudáson kívül semmiféle előnyhöz nem juttatja a megoldókat.
A dolgozatokat a következő címre küldjék:
Appel György, Kosshuth Lajos Gimn.
Budapest XX., Ady E. u. 142.
1204
A beküldés határideje: 1979 április 20.

*

1. Bizonyítsuk be, hogy az a>0, b>0, c>0 hosszúságú szakaszokból akkor és csak akkor szerkeszthető háromszög, ha a
pa2+qb2>pqc2
egyenlőtlenség teljesül minden olyan p és q valós számra, amelynek összege 1.
(16 pont)

2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x1+2x1=2x2,x2+2x2=2x3,xn-1+2xn-1=2xn,xn+2xn=2x1.



(15 pont)

3. Egy háromszög csúcspontjainak a síkjában fekvő két, egymásra merőleges egyenestől mért távolságai természetes számok. Lehet-e a háromszög szabályos?
(13 pont)

4. Legyen n természetes szám, a1,...,an,1α1,1...,1αn adott valós számok. Tegyük fel, hogy a valós számok halmazán értelmezett
f(x)=a1cos(α1+x)+a2cos(α2+x)+...+ancos(αn+x)
függvényre
f(0)=f(x1)=0
teljesül valamely x1kπ (k egész szám) esetén. Bizonyítsuk be, hogy ekkor minden x valós számra f(x)=0.
(11 pont)