Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a februári szám mérőlapjához
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 1992/március, 106 - 107. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. a. Ábrázoljuk a két oldalt. Megoldás: -π/2+2kπxπ/2+2kπ.
b. Ábrázoljuk a két oldalt. Megoldás: x1.
c. sinx0, vagyis xkπ. Mivel a sinx páratlan függvény, ezért a megoldás: xR{kπ}, ahol kN.
2. sin74+sin16=2sin45cos29=2sin61,
sin62+sin28=2sin45cos17=2sin73.
3. A C és a k ismeretében felírható a C-vel szemközti oldal egyenlete: x-2y-9=0. Ezek alapján az x tengelyen lévő csúcs: A(9;0). Használjuk fel a súlypont koordinátáit is, B(-3;-6).
4. A befogótétel szerint: a2=pc,b2=qc, így a2b2=pqc2, amiből
1pq=c2a2b2=a2+b2a2b2=1a2+1b2.

5. Ismert, hogy a hasonló síkidomok területei a megfelelő oldalak négyzeteivel arányosak, ezért létezik olyan pozitív k, amire ta=ka2, tb=kb2, tc=kc2. A koszinusztétel szerint:
b2+c2-a2=2bccosα.
k-val szorozva a bizonyítandó állítást kapjuk.
6. x5+y5=(x+y){(x+y)4-5xy[(x+y)2-xy]}. Legyen xy=a, ekkor 2=1-5a(1-a), Innen:
a1=5+3510,a2=5-3510.
Az
x+y=1xy=a}
egyenletrendszert oldjuk meg. a1-re nincs valós megoldás. a2-re:

x1=12+-5+6520(1,149),x2=12--5+6520,y1=12--5+6520(-0,149),y2=12+-5+6520.

7. A víz térfogatát egy csonkakúp térfogata adja (a csonkakúp magassága m'=m/2)

V=π3m'(r2+r24+r22)=712r2πm'=724r2πm.(1)



A csúcsán álló kúpnál a térfogat egy kúp térfogata lesz, sugara legyen r1, magassága x. r/m=r1/x, amiből r1=rx/m, így

V=r12πx=r2πx3m2.(2)


(1) és (2) alapján x=m7/243m0,663.
8. Sn=n2[2a+(n-1)d]; S2n-Sn=n2[2a+(3n-1)d].
Tudjuk, hogy minden n-re: 2a+nd-d2a+3nd-d=K.
Alakítva: nd(1-3K)=(2a-d)(K-1). A feltételek alapján K1, d0, ezért az egyenlőség csak akkor állhat fenn minden n-re, ha K=1/3, 2a=d teljesül. Vagyis a keresett hányados 1/3.