Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a februári szám mérőlapjához
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1992/március, 106 - 107. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. a. Ábrázoljuk a két oldalt. Megoldás: $- π / 2 + 2 k π \leq x \leq π / 2 + 2 k π$ .
b. Ábrázoljuk a két oldalt. Megoldás: $x \geq 1$ .
c. $sin x \neq 0$ , vagyis $x \neq k π$ . Mivel a $sin x$ páratlan függvény, ezért a megoldás: $x \in R ∖ {k π}$ , ahol $k \in N$ .
2. $sin 74^{\circ} + sin 16^{\circ} = 2 sin 45^{\circ} cos 29^{\circ} = \sqrt[]{2} sin 61^{\circ},$
$sin 62^{\circ} + sin 28^{\circ} = 2 sin 45^{\circ} cos 17^{\circ} = \sqrt[]{2} sin 73^{\circ} .$
3. A $C$ és a $k$ ismeretében felírható a $C$ -vel szemközti oldal egyenlete: $x - 2 y - 9 = 0$ . Ezek alapján az $x$ tengelyen lévő csúcs: $A (9; 0)$ . Használjuk fel a súlypont koordinátáit is, $B (- 3; - 6)$ .
4. A befogótétel szerint: $a^{2} = p c, b^{2} = q c,$ így $a^{2} b^{2} = p q c^{2}$ , amiből

\begin{matrix} \frac{1}{p q} = \frac{c^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} . \end{matrix}

5. Ismert, hogy a hasonló síkidomok területei a megfelelő oldalak négyzeteivel arányosak, ezért létezik olyan pozitív

k

, amire

t_{a} = k a^{2}

t_{b} = k b^{2}

t_{c} = k c^{2}

. A koszinusztétel szerint:

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c cos α . \end{matrix}

k

-val szorozva a bizonyítandó állítást kapjuk.
6.

x^{5} + y^{5} = (x + y) {{(x + y)}^{4} - 5 x y [{(x + y)}^{2} - x y]} .

Legyen

x y = a

, ekkor

2 = 1 - 5 a (1 - a)

, Innen:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{5 + 3 \sqrt[]{5}}{10}, a_{2} = \frac{5 - 3 \sqrt[]{5}}{10} . \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} x + y = 1 \\ x y = a \end{matrix}} \end{matrix}

egyenletrendszert oldjuk meg.

a_{1}

-re nincs valós megoldás.

a_{2}

-re:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{1}{2} + \sqrt[]{\frac{- 5 + 6 \sqrt[]{5}}{20}} (\approx 1,149), x_{2} = \frac{1}{2} - \sqrt[]{\frac{- 5 + 6 \sqrt[]{5}}{20}}, \\ y_{1} = \frac{1}{2} - \sqrt[]{\frac{- 5 + 6 \sqrt[]{5}}{20}} (\approx - 0,149), y_{2} = \frac{1}{2} + \sqrt[]{\frac{- 5 + 6 \sqrt[]{5}}{20}} . \end{matrix}

7. A víz térfogatát egy csonkakúp térfogata adja (a csonkakúp magassága

m' = m / 2

)

\begin{matrix} V = \frac{π}{3} m' (r^{2} + \frac{r^{2}}{4} + \frac{r^{2}}{2}) = \frac{7}{12} r^{2} π m' = \frac{7}{24} r^{2} π m . & (1) \end{matrix}

A csúcsán álló kúpnál a térfogat egy kúp térfogata lesz, sugara legyen

r_{1}

, magassága

x

r / m = r_{1} / x

, amiből

r_{1} = r x / m

, így

\begin{matrix} V = r_{1}^{2} π x = \frac{r^{2} π x^{3}}{m^{2}} . & (2) \end{matrix}

(1) és (2) alapján

x = m \sqrt[3]{7 / 24} \approx m \cdot 0,663

.
8.

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

;

S_{2 n} - S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (3 n - 1) d] .

Tudjuk, hogy minden

n

-re:

\frac{2 a + n d - d}{2 a + 3 n d - d} = K

.
Alakítva:

n d (1 - 3 K) = (2 a - d) (K - 1)

. A feltételek alapján

K \neq 1

d \neq 0

, ezért az egyenlőség csak akkor állhat fenn minden

n

-re, ha

K = 1 / 3

2 a = d

teljesül. Vagyis a keresett hányados

1 / 3