Cím:	Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. I. középszintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Magyar Zsolt
Füzet:	2005/áprilisi melléklet, 67 - 70. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):	2005/extra1: Középszintű gyakorló feladatsor I.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. 1 kg kenyér eredeti ára 125, megemelt ára 150 Ft. 500 Ft-ból így az emelés után $3\frac{1}{3}$ kg kenyérre telik.   2. A gyök és a nevező miatt $x^2-4>0$, azaz $x>2$ vagy $x<-2$. A megoldás halmazjelölésekkel: $\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]2;\infty \right[$.   3. A számok kihúzására az összes lehetőségek száma, a húzási sorrendet figyelembe véve: $6\cdot 5=30$. A megfelelő számpárok: 1 és 2; 1 és 8; 2 és 4; 3 és 6; 5 és 4. Mivel az összes esetek számának meghatározásánál figyelembe vettük a sorrendet, ezért a jó esetek száma: $5\cdot 2=10$, tehát a keresett valószínűség $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.   4. A keresett hossz: $\sqrt[]{{\left(7-3\right)}^2+{\left(-3+6\right)}^2}=5$.   5. $x\mapsto 4-x$.   6. Átlag = 5, Medián = 3.   7.   8. $a)$ 2004 és 2005 között körülbelül 12 000-rel nőtt a lakosok száma. $b)$ 2003 és 2004 között csökkent a lakosok száma.   9. Ha az eredeti állítás igaz, akkor nem lehet olyan tarka szarka, aminek a farka nem tarka. Ha pedig nincs olyan tarka szarka, aminek a farka nem tarka, akkor minden tarka szarka farka tarka kell legyen. Tehát a $C$ a helyes válasz.   10. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a+b}\cdot \frac{a+b}{5a-5b}=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{a+b}\cdot \frac{a+b}{5\left(a-b\right)}=\frac{a+b}{5}\mathrm{.}}\end{array}$ A kifejezés helyettesítési értéke 41.   11. A háromszög területe befogói szorzatának fele, azaz $30\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Az átfogó a Pitagorasz-tételből számítható, hossza 13 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\frac{2T}{13}=\frac{60}{13}\text{cm}\mathrm{.}}\end{array}$   12.   II./A rész   13. $a)$ Havi 1000 példány a Mismásolóval $5000+1000\cdot 8=13000$ Ft, a Másmásolóval $9500+1000\cdot 5=14500$ Ft, tehát a Mismásolóval $\frac{13000}{14500}\approx 0\mathrm{,}897$ részébe kerül a másolás, azaz körülbelül 10,3%-kal olcsóbb. $b)$ A Másmásolóval 4500 Ft az alapdíj-különbözet, ami 1500 példány másolása esetén térül meg. 1500 példány felett a Másmásoló, 1500 példány alatt a Mismásoló kedvezőbb. $c)$ 20 000 másolat ára $9500+20000\cdot 5=109500$ Ft a Másmásolóval. Ha erre 20%-os hasznot teszünk, akkor 131 400 Ft a teljes költség, így egy példányra 6,57 Ft jut. $d)$ Kifizettünk a 20 000 példányért 109 500 Ft-ot, és szeretnénk 131 400 Ft bevételt elérni. Eddig beszedtünk 100 000 Ft-ot, az 5000 példánynak a fennmaradó 31 400 Ft-os bevételt kell produkálnia. Ehhez 6,28 Ft-ért kell adnunk egy másolatot.   14. $a)$ $b)$ Vezessünk be új változót! $a=2^x$. Ezzel az egyenlet a $\begin{array}{c}{\displaystyle 8a^2-33a+4=0}\end{array}$ alakot ölti, ennek gyökei 4 és $\frac{1}{8}$. A $2^x=4$ és $2^x=\frac{1}{8}$ egyenletek gyökei $x=2$ és $-3$.   15. $a)$ Jelölje $m$ a trapéz magasságát, ekkor a $DAE$ derékszögű háromszögből ${\left(m+8\right)}^2=m^2+400$, $m=21$. A trapéz területe 588.     $b)$ Jelölje $r$ a trapéz köré írt kör sugarát, ekkor a $CGO$, illetve $BHO$ derékszögű háromszögekből kapjuk: $\overline{OH}=x$ jelöléssel $r^2={\left(x+21\right)}^2+4^2$, $r^2=x^2+{24}^2$. Innen $x=\frac{119}{42}$, $r=\frac{145}{6}$.   II./B rész     16. $a)$ $2x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, illetve $2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, ahol $k$ tetszőleges egész szám. Innen $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$, illetve $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$. $b)$ Az egyenlet $x>-1$, $x\ne 4$ esetén értelmezett. Ekvivalens átalakításokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{log}{}_2\left(x+1\right)+\text{log}{}_2{\left(x-4\right)}^2=2\text{log}{}_2\mathrm{6,}}\end{array}$ innen $\text{log}{}_2{\left(x+1\right)}^2{\left(x-4\right)}^2=\text{log}{}_{2}36$. A $\text{log}{}_{2}x$ függvény kölcsönösen egyértelmű, így ${\left[\left(x+1\right)\left(x-4\right)\right]}^2=36$. Ez pontosan akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-4\right)=\mathrm{6,}\text{vagy}\left(x+1\right)\left(x-4\right)=-6.}\end{array}$ Az első egyenletből $x_1=5$, $x_2=-2$ (ez utóbbi a kikötés miatt nem megoldás). A második egyenletből $x_3=1$, $x_4=2$, ez mindkettő megoldás.   Megjegyzés: Az eredeti egyenlet $\text{log}{}_2\left(x+1\right)+\text{log}{}_2|x-4|=\text{log}{}_{2}6$ alakban is írható.   17. $a)$ A kötelek által meghatározott háromszögben a 80 m-es oldallal szemközti szögre a koszinusz-tételt felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle {40}^2+{60}^2-2\cdot 40\cdot 60\cdot \text{cos}\alpha ={80}^2\mathrm{,}}\end{array}$ innen $\text{cos}\alpha =-0\mathrm{,}25$, $\alpha \approx 104\mathrm{,}{47}^{\circ }$. A háromszög (az olajfolt) területe $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}5\cdot 40\cdot 60\cdot \text{sin}104\mathrm{,}{47}^{\circ }\approx 1161\mathrm{,}9\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>. }}\end{array}$ $b)$ A kiválasztásra az összes esetek száma $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$. A jó esetek azok, amikor egy sztrájkolót és egy nem sztrájkolót választ ki a kapitány, ezek száma $15\cdot 5=75$. Tehát a keresett valószínűség $\frac{75}{190}=\frac{15}{38}$. $c)$ Az egyes nemzetiségekhez tartozó középponti szögek: svéd ${45}^{\circ }$, dán ${90}^{\circ }$, kínai ${72}^{\circ }$, német ${153}^{\circ }$.   18. Az első kutya egy körön belül és a körvonalon, a második két párhuzamos egyenesen és közöttük mozog. A legkisebb távolság köztük akkor léphet fel, amikor mindketten a kör középpontjából a megadott egyenesre emelt merőleges egyenesen tartózkodnak, távolságuk a kör középpontjának és az egyenesnek a távolságánál 3 egységgel kisebb. A kör középpontjából az adott egyenesre állított merőleges egyenlete: $4x-3y=1$. A két egyenes metszéspontja az $\left(1;1\right)$ pont. A $\left(4;5\right)$ és $\left(1;1\right)$ pontok távolsága 5 egység. Tehát a kutyák közti legkisebb távolság 2 egység.