Cím: Középszintű gyakorló feladatsor I.
Szerző(k):  Magyar Zsolt 
Füzet: 2005/áprilisi melléklet, 52 - 55. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):2005/extra1: Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. I. középszintű gyakorló feladataihoz

I. rész
 

A vizsgadolgozatban az I. részben kitűzött feladatok végeredményét kell megadni, a megoldás kifejtése csak ott szükséges, ahol a feladat szövege erre külön utasítást ad. A megoldásra fordítható idő 45 perc. Zsebszámológép és négyjegyű függvénytáblázat használható.
 
1. A boltban 500 forintért 4 kilogramm kenyeret tudunk venni. Hány kilogramm kenyeret tudunk venni ugyanennyi pénzért, ha a kenyér árát felemelik 20%-kal? (2 pont)
 
2. Határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, melyen az 1x2-4 kifejezés értelmezhető!  (2 pont)
 
3. Egy urnába helyezzük az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokat tartalmazó számkártyákat, és visszatevés nélkül kettőt kihúzunk közülük. A kihúzott számokat általunk választott sorrendben egymás mellé írva kétjegyű számot alkotunk. Mi annak a valószínűsége, hogy ilyen módon 6-tal osztható számot kaptunk?  (3 pont)
 
4. Adott a koordinátarendszerben az A(3;-6) és B(7;-3) pont. Határozza meg az AB szakasz hosszát!  (2 pont)
 
5. Adja meg az ábrán látható lineáris függvény hozzárendelési szabályát!  (2 pont)
 
 

6. Adott a következő hét szám: 3; 2; 3; 7; 1; 9; 10. Határozza meg az adatsor átlagát és mediánját!  (2 pont)
 
7. Kisországnak összesen hét települése van. A fővárost minden településsel összeköti egy-egy út, a fővároson kívül pedig minden településről két másikba lehet közvetlenül eljutni közúton. Rajzoljon le egy egyszerű gráfot, amely Kisország úthálózatát szemlélteti!  (2 pont)
 
8. Egy város lakosainak számát mutatja a grafikon a feltüntetett években. Állapítsa meg, hogy a feltüntetett időszakban
 
 

a) melyik két év között volt a legnagyobb a lakosok számának növekedése, és körülbelül mennyi ez a növekedés;  (2 pont) b) melyik két év között csökkent a lakosok száma!  (1 pont)
 
9. Minden tarka szarka farka tarka.
Állapítsa meg, hogy a felsoroltak közül melyik jelenti ugyanazt, mint a fenti állítás!  (3 pont) A) Van olyan tarka szarka, aminek a farka tarka.
B) Minden tarkafarkú szarka farka tarka.
C) Nincs olyan tarka szarka, aminek a farka nem tarka.
D) Minden szarka farka tarka.
E) Minden szarkára igaz, hogy ha tarka a farka, akkor ő maga is tarka.
 
10. a) Egyszerűsítse az alábbi algebrai törtet!  (2 pont)
a2-b2a+ba+b5a-5b

b) Számítsa ki a kifejezés helyettesítési értékét, ha a=150, b=55.  (1 pont)
 
11. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5cm, a másik befogója 12cm hosszú.
a) Mekkora a háromszög területe?  (1 pont) b) Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?  (2 pont) Megoldását indokolja!
 
12. Ábrázolja az
xx2+2x-3
függvényt a [-2;2] intervallumon!  (3 pont)
 

II./A rész
 

13. Egy cég fénymásolókat ad bérbe. Kétféle típusból lehet választani: a Mismásoló esetében a havi bérleti díj 5000 Ft és másolatonként 8 Ft-ot kell fizetni; a Másmásoló esetén a havi bérleti díj 9500 Ft és másolatonként 5 Ft-ot kell fizetni. (Ezen kívül más költség nincs.)
a) Hány százalékkal kerül többe vagy kevesebbe a másolás havi 1000 példány esetén a Mismásolóval a Másmásolóhoz képest?  (2 pont) b) Adja meg, hogy a havi példányszám függvényében melyik másolót érdemes választani!  (4 pont) c) Fénymásoló üzletet akarunk nyitni, és ott havi 20 000 másolat elkészítésére számítunk. Hány forintban szabjuk meg egy példány árát, ha a másolási költségeinkhez képest 20% haszonra akarunk szert tenni? (Az üzletbe a Másmásolót béreljük.)  (3 pont) d) Fénymásoló üzletünkben a gépre átalánydíjas bérleti szerződést kötöttünk: havonta 20 000 másolatot előre kifizetünk a Másmásoló bérleti feltételeinek megfelelően, és ezért az összegért annyit másolunk, amennyit akarunk. Úgy döntünk, hogy 10 forintért árulunk egy másolatot. Egy hónapban már eladtunk 10 000 másolatot, és elérkezett a hónap utolsó napja. Kapunk egy 5 000 példányos megrendelést. Mennyiért vállaljuk el darabját, hogy az adott hónapra a befektetett pénzünkhöz képest 20%-os hasznot érjünk el?  (3 pont)
 
14. a) Ábrázolja a pozitív valós számok halmazán értelmezett xlog2x függvényt!  (4 pont) b) Oldja meg a valós számok halmazán a
4x+32-332x+22=0
egyenletet!  (8 pont)
 
15. Egy szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalainak hossza 8, illetve 48 egység. Szárának hossza megegyezik a rövidebb párhuzamos oldal és a magasság hosszának összegével.
a) Számítsa ki a trapéz területét!  (6 pont) b) Határozza meg a trapéz köré írható kör sugarát!  (6 pont)
 

II./B rész
 

A 16., 17. és 18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania.
 
16. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!
a) sin2x=12;  (6 pont) b) log2(x+1)+12log2(x2-8x+16)=1+log23.  (11 pont)
 
17. Három hajó a tengeren a közöttük kifeszített, szivaccsal borított kötél segítségével egy tankhajó-baleset alkalmával a vízbe került olajfoltot akar lokalizálni. A hajók között páronként vett távolság 40, 60 illetve 80 méter. Az olajfolt kitölti a szivacsos kötelek közti részt.
a) Mekkora az olajfolt területe?  (7 pont) b) Az egyik hajó 20 fős legénységéből a rossz kosztra hivatkozva 15-en megtagadják a munkát. A kapitány véletlenszerűen kijelöl 2 matrózt a szivattyúhoz. Mi annak a valószínűsége, hogy a kijelöltek közül pontosan az egyik sztrájkoló?  (4 pont) c) A legnagyobb hajó 80 fős legénységéből 10 svéd, 20 dán, 16 kínai és 34 német. Ábrázoljuk a legénység összetételét kördiagramon!  (6 pont)
 
18. Két kutya van kikötve a koordinátarendszerben: az egyik a (4;5) ponthoz egy 2 egység hosszúságú pórázzal, melynek egyik vége a pont körül szabadon foroghat; a másik az 3x+4y=7 egyenletű egyeneshez egy 1 egység hosszú pórázzal, melynek egyik vége az egyenesen szabadon csúszhat. Mekkora a két kutya közti lehetséges legkisebb távolság?  (17 pont)