Cím: Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. I. középszintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Magyar Zsolt 
Füzet: 2005/áprilisi melléklet, 67 - 70. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):2005/extra1: Középszintű gyakorló feladatsor I.

I. rész
 

1. 1 kg kenyér eredeti ára 125, megemelt ára 150 Ft. 500 Ft-ból így az emelés után 313 kg kenyérre telik.
 
2. A gyök és a nevező miatt x2-4>0, azaz x>2 vagy x<-2. A megoldás halmazjelölésekkel: ]-;-2[]2;[.
 
3. A számok kihúzására az összes lehetőségek száma, a húzási sorrendet figyelembe véve: 65=30. A megfelelő számpárok: 1 és 2; 1 és 8; 2 és 4; 3 és 6; 5 és 4. Mivel az összes esetek számának meghatározásánál figyelembe vettük a sorrendet, ezért a jó esetek száma: 52=10, tehát a keresett valószínűség 1030=13.
 
4. A keresett hossz: (7-3)2+(-3+6)2=5.
 
5. x4-x.
 
6. Átlag = 5, Medián = 3.
 
7.

 
8. a) 2004 és 2005 között körülbelül 12 000-rel nőtt a lakosok száma.
b) 2003 és 2004 között csökkent a lakosok száma.
 
9. Ha az eredeti állítás igaz, akkor nem lehet olyan tarka szarka, aminek a farka nem tarka. Ha pedig nincs olyan tarka szarka, aminek a farka nem tarka, akkor minden tarka szarka farka tarka kell legyen. Tehát a C a helyes válasz.
 
10.
a2-b2a+ba+b5a-5b=(a+b)(a-b)a+ba+b5(a-b)=a+b5.
A kifejezés helyettesítési értéke 41.
 
11. A háromszög területe befogói szorzatának fele, azaz 30cm2. Az átfogó a Pitagorasz-tételből számítható, hossza 13 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság
m=2T13=6013cm.

 
12.

 

II./A rész
 

13. a) Havi 1000 példány a Mismásolóval 5000+10008=13000 Ft, a Másmásolóval 9500+10005=14500 Ft, tehát a Mismásolóval 13000145000,897 részébe kerül a másolás, azaz körülbelül 10,3%-kal olcsóbb.
b) A Másmásolóval 4500 Ft az alapdíj-különbözet, ami 1500 példány másolása esetén térül meg. 1500 példány felett a Másmásoló, 1500 példány alatt a Mismásoló kedvezőbb.
c) 20 000 másolat ára 9500+200005=109500 Ft a Másmásolóval. Ha erre 20%-os hasznot teszünk, akkor 131 400 Ft a teljes költség, így egy példányra 6,57 Ft jut.
d) Kifizettünk a 20 000 példányért 109 500 Ft-ot, és szeretnénk 131 400 Ft bevételt elérni. Eddig beszedtünk 100 000 Ft-ot, az 5000 példánynak a fennmaradó 31 400 Ft-os bevételt kell produkálnia. Ehhez 6,28 Ft-ért kell adnunk egy másolatot.
 
14. a)

b) Vezessünk be új változót! a=2x. Ezzel az egyenlet a
8a2-33a+4=0
alakot ölti, ennek gyökei 4 és 18. A 2x=4 és 2x=18 egyenletek gyökei x=2 és -3.
 
15. a) Jelölje m a trapéz magasságát, ekkor a DAE derékszögű háromszögből (m+8)2=m2+400, m=21. A trapéz területe 588.
 
 

b) Jelölje r a trapéz köré írt kör sugarát, ekkor a CGO, illetve BHO derékszögű háromszögekből kapjuk: OH¯=x jelöléssel r2=(x+21)2+42, r2=x2+242. Innen x=11942, r=1456.
 

II./B rész
 

 
16. a) 2x=π6+2kπ, illetve 2x=5π6+2kπ, ahol k tetszőleges egész szám. Innen x=π12+kπ, illetve x=5π12+kπ.
b) Az egyenlet x>-1, x4 esetén értelmezett. Ekvivalens átalakításokkal
2log2(x+1)+log2(x-4)2=2log26,
innen log2(x+1)2(x-4)2=log236. A log2x függvény kölcsönösen egyértelmű, így [(x+1)(x-4)]2=36. Ez pontosan akkor teljesül, ha
(x+1)(x-4)=6,vagy(x+1)(x-4)=-6.
Az első egyenletből x1=5, x2=-2 (ez utóbbi a kikötés miatt nem megoldás). A második egyenletből x3=1, x4=2, ez mindkettő megoldás.
 
Megjegyzés: Az eredeti egyenlet log2(x+1)+log2|x-4|=log26 alakban is írható.
 
17. a) A kötelek által meghatározott háromszögben a 80 m-es oldallal szemközti szögre a koszinusz-tételt felírva:
402+602-24060cosα=802,
innen cosα=-0,25, α104,47. A háromszög (az olajfolt) területe
0,54060sin104,471161,9m2.  

b) A kiválasztásra az összes esetek száma (202)=190. A jó esetek azok, amikor egy sztrájkolót és egy nem sztrájkolót választ ki a kapitány, ezek száma 155=75. Tehát a keresett valószínűség 75190=1538.
c) Az egyes nemzetiségekhez tartozó középponti szögek: svéd 45, dán 90, kínai 72, német 153.
 
18. Az első kutya egy körön belül és a körvonalon, a második két párhuzamos egyenesen és közöttük mozog. A legkisebb távolság köztük akkor léphet fel, amikor mindketten a kör középpontjából a megadott egyenesre emelt merőleges egyenesen tartózkodnak, távolságuk a kör középpontjának és az egyenesnek a távolságánál 3 egységgel kisebb. A kör középpontjából az adott egyenesre állított merőleges egyenlete: 4x-3y=1. A két egyenes metszéspontja az (1;1) pont. A (4;5) és (1;1) pontok távolsága 5 egység. Tehát a kutyák közti legkisebb távolság 2 egység.