Cím:	Középszintű gyakorló feladatsor II.
Szerző(k):	Kántor Sándorné Varga Tünde
Füzet:	2005/áprilisi melléklet, 55 - 58. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):	2005/extra1: Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. II. középszintű gyakorló feladataihoz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Az alábbi kifejezések közül hány lesz egyenlő az $x^x+x^x$ összeggel minden $x>0$ valós számra? $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{I.}2\cdot x^x\text{II.}{x}^{2x}\text{III.}{\left(2x\right)}^x\text{IV.}{\left(2x\right)}^{2x}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{(A)}0\text{(B)}1\text{(C)}2\text{(D)}3\text{(E)}4}\end{array}$ (1 pont)   2. Adja meg a következő kifejezés számértékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{3}{5}\right)}^{2005}:\frac{3^{2006}+{15}^{2006}}{5^{2006}+5^{4012}}\mathrm{.}}\end{array}$ Válaszát indokolja! $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{(A)}1\text{(B)}5\text{(C)}\frac{3}{5}\text{(D)}\frac{5}{3}\text{(E)}3}\end{array}$ (2 pont)   3. Anna és Béla 2005. március 1-jén álltak munkába egy üzletláncnál. Annának olyan a beosztása, hogy három ledolgozott nap után kap egy szabadnapot, míg Béla hét ledolgozott nap után kap három szabadnapot. Az elkövetkező 120 nap alatt hány esetben esik a szabadnapjuk ugyanarra a napra?  (2 pont)   4. Adottak az $ABCD$ négyszög négy csúcsának a koordinátái: $A\left(-3;1\right)$, $B\left(-4;-5\mathrm{,}5\right)$, $C\left(8;-1\right)$, $D\left(5;4\right)$. Az alábbi állítások közül melyik igaz? $a)$ Az $ABCD$ négyszög paralelogramma. $b)$ Az $ABCD$ négyszög trapéz.  (2 pont)   5. 2004-ben egy kerékpár ára 32 000 Ft, egy kerékpáros bukósisak ára 8 000 Ft volt. 2005-ben a kerékpár ára $5\%$-kal, a bukósisak ára $10\%$-kal emelkedett. Hány $\%$-kal emelkedett a kerékpár és a bukósisak együttes ára 2005-ben? $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{(A)}6\%\text{(B)}7\%\text{(C)}7\mathrm{,}5\%\text{(D)}8\%\text{(E)}15\%}\end{array}$ (2 pont)   6. Adottak az $A$, $B$ és $C$ véges halmazok: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A}& {\displaystyle =\left\{x\mid x\in \text{N}\mathrm{,}{x}^2\le 4\right\}\mathrm{,}B=\left\{x\mid x\in \text{Z}\mathrm{,}|x|=2\right\}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle C}& {\displaystyle =\left\{x\mid x\text{ prímszám és }0<x<6\right\}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $a)$ Sorolja fel az $A$, $B$ és $C$ halmazok elemeit! $b)$ Adja meg az $A\cap B\cap C$ halmaz elemeit! $c)$ Igaz-e, hogy $B$ részhalmaza az $A$ halmaznak? Állítását indokolja!  (3 pont)   7. Milyen valós értékekre értelmezhetőek a következő kifejezések? $\begin{array}{c}{\displaystyle a)\sqrt[]{x^2-1}b)\text{log}{}_{\frac{1}{3}}\sqrt[]{1-x}\mathrm{.}}\end{array}$ (2 pont)   8. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $4^x-2^{x+1}=3$.  (3 pont)   9. Anna megfázott, belázasodott és szúrt a torka. Az orvos kétféle kapszulát írt fel neki: egy zöldet és egy fehéret. A zöldből naponta 3 darabot, a fehérből naponta 2 darabot kell beszednie két hétig. A kétféle gyógyszerért 1470 Ft-ot fizetett a gyógyszertárban. A gyógyszerész azt mondta neki, hogy a fehér kapszula darabja 10 Ft-tal kerül kevesebbe, mint a zöld kapszuláé. Milyen drága a zöld, illetve a fehér kapszula darabja?  (3 pont)   10. Az ábrán az $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ harmadfokú függvény grafikonjának egy szakasza látható. Mennyi $b$ értéke?     $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{(A)}-4\text{(B)}-2\text{(C)}0\text{(D)}1\text{(E)}4}\end{array}$ (3 pont)   11. Egy egyenes körkúp alakú tölcsérbe a fagylaltos egy gömb alakú eperfagylalt gombócot nyomott bele. A tölcsér és a fagylaltgömb átmérője egyenlő. Ha a fagylaltgömb elolvad, éppen megtölti a tölcsért. Az olvadt fagylalt térfogata $75\%$-a a fagyott állapotú fagylalt térfogatának. Határozza meg a tölcsérkúp magasságának és a fagylaltgömb sugarának az arányát!  (3 pont)   12. Adott az $ABCD$ konvex négyszög. Hosszabbítsuk meg a négyszög mindegyik oldalát, azonos körüljárási irányban, a saját hosszával. Mennyi az így kapott $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ négyszög és az $ABCD$ négyszög területének az aránya? Válaszát indokolja! $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{(A)}4:1\text{(B)}5:1\text{(C)}6:1\text{(D)}7:1\text{(E)}8:1}\end{array}$ ( pont)   II./A rész     13. $a)$ Ábrázolja a valós számok halmazán értelmezett $x\mapsto \text{cos}2x$ függvényt és határozza meg az $x\mapsto \text{cos}2x$ függvény szélsőérték helyeit, azok jellegét és értékét!  (6 pont) $b)$ Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{ctg}{}^{2}x-8\text{sin}{}^{2}x=1.}\end{array}$ (6 pont)   14. Az $e:x-2y=3$ és az $f:3x-y=4$ egyenletű egyenesek egymást az $M$ pontban metszik. $a)$ Határozza meg az $M$ metszéspont koordinátáit! $b)$ Írja fel annak a $h$ egyenesnek az egyenletét, amelyik átmegy az $M$ ponton és merőleges a $g:2x-3y=1$ egyenletű egyenesre! $c)$ Adja meg a $h$ egyenesnek a koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak a koordinátáit!  (12 pont)   15. Az $ABC$ háromszögben az $AB$ oldal hossza $1\text{cm}$, az $AC$ oldal hossza $2\text{cm}$, a $BC$ oldal hossza megegyezik az $A$ csúcsból induló súlyvonal hosszával. Milyen hosszú az $ABC$ háromszög $BC$ oldala?  (12 pont)   II./B rész     16. Három papírcédulára ráírjuk külön-külön az $1$, $2$, $3$ számokat, majd betesszük a három cédulát egy kalapba. A kalapból kihúzunk egy cédulát és feljegyezzük a rajta levő számot, majd visszatesszük a cédulát a kalapba. A húzást még kétszer megismételjük. Mindegyik cédula kihúzásának esélye egyenlő. Ha a feljegyzett számok összege $6$, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a $2$-es számot tartalmazó cédulát háromszor húztuk ki?  (17 pont)   17. Egy számtani sorozat $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}{a}_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n\mathrm{,}\text{...}$ tagjaira teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a_4+a_7+a_{10}=\mathrm{17,}{a}_4+a_5+a_6+\text{...}+a_{13}+a_{14}=77.}\end{array}$ $a)$ Határozza meg a számtani sorozat hetedik tagját! $b)$ Határozza meg a számtani sorozat kilencedik tagját! $c)$ Adja meg a számtani sorozat differenciáját (különbségét)! $d)$ Számolja ki a számtani sorozat első tagját! $e)$ Határozza meg, hogy a 13 hányadik tagja a sorozatnak!  (17 pont)   18. A pallagi természetvédelmi területen levő fácánfarmon a fácánok száma úgy növekszik, hogy az $\left(n+2\right)$-edik évi állomány létszáma és az $n$-edik évi állomány létszáma közti különbség egyenesen arányos az $\left(n+1\right)$-edik évi állomány létszámával. $a)$ Ha 2001-ben 39, 2002-ben 60, 2004-ben 123 volt a fácánok száma, akkor mekkora volt a fácánállomány 2003-ban? $b)$ Ábrázolja oszlopdiagramon, hogy hogyan alakult a fácánok évenkénti létszáma 2001 és 2004 között a pallagi természetvédelmi területen!  (17 pont)