Cím:	Középszintű gyakorló feladatsor I.
Szerző(k):	Magyar Zsolt
Füzet:	2005/áprilisi melléklet, 52 - 55. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):	2005/extra1: Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. I. középszintű gyakorló feladataihoz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   A vizsgadolgozatban az I. részben kitűzött feladatok végeredményét kell megadni, a megoldás kifejtése csak ott szükséges, ahol a feladat szövege erre külön utasítást ad. A megoldásra fordítható idő 45 perc. Zsebszámológép és négyjegyű függvénytáblázat használható.   1. A boltban 500 forintért 4 kilogramm kenyeret tudunk venni. Hány kilogramm kenyeret tudunk venni ugyanennyi pénzért, ha a kenyér árát felemelik $20\%$-kal? (2 pont)   2. Határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, melyen az $\frac{1}{\sqrt[]{x^2-4}}$ kifejezés értelmezhető!  (2 pont)   3. Egy urnába helyezzük az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokat tartalmazó számkártyákat, és visszatevés nélkül kettőt kihúzunk közülük. A kihúzott számokat általunk választott sorrendben egymás mellé írva kétjegyű számot alkotunk. Mi annak a valószínűsége, hogy ilyen módon 6-tal osztható számot kaptunk?  (3 pont)   4. Adott a koordinátarendszerben az $A\left(3;-6\right)$ és $B\left(7;-3\right)$ pont. Határozza meg az $AB$ szakasz hosszát!  (2 pont)   5. Adja meg az ábrán látható lineáris függvény hozzárendelési szabályát!  (2 pont)     6. Adott a következő hét szám: 3; 2; 3; 7; 1; 9; 10. Határozza meg az adatsor átlagát és mediánját!  (2 pont)   7. Kisországnak összesen hét települése van. A fővárost minden településsel összeköti egy-egy út, a fővároson kívül pedig minden településről két másikba lehet közvetlenül eljutni közúton. Rajzoljon le egy egyszerű gráfot, amely Kisország úthálózatát szemlélteti!  (2 pont)   8. Egy város lakosainak számát mutatja a grafikon a feltüntetett években. Állapítsa meg, hogy a feltüntetett időszakban     $a)$ melyik két év között volt a legnagyobb a lakosok számának növekedése, és körülbelül mennyi ez a növekedés;  (2 pont) $b)$ melyik két év között csökkent a lakosok száma!  (1 pont)   9. Minden tarka szarka farka tarka. Állapítsa meg, hogy a felsoroltak közül melyik jelenti ugyanazt, mint a fenti állítás!  (3 pont) $A)$ Van olyan tarka szarka, aminek a farka tarka. $B)$ Minden tarkafarkú szarka farka tarka. $C)$ Nincs olyan tarka szarka, aminek a farka nem tarka. $D)$ Minden szarka farka tarka. $E)$ Minden szarkára igaz, hogy ha tarka a farka, akkor ő maga is tarka.   10. $a)$ Egyszerűsítse az alábbi algebrai törtet!  (2 pont) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a+b}\cdot \frac{a+b}{5a-5b}}\end{array}$ $b)$ Számítsa ki a kifejezés helyettesítési értékét, ha $a=150$, $b=55$.  (1 pont)   11. Egy derékszögű háromszög egyik befogója $5\text{cm}$, a másik befogója $12\text{cm}$ hosszú. $a)$ Mekkora a háromszög területe?  (1 pont) $b)$ Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?  (2 pont) Megoldását indokolja!   12. Ábrázolja az $\begin{array}{c}{\displaystyle x\mapsto x^2+2x-3}\end{array}$ függvényt a $\left[-2;2\right]$ intervallumon!  (3 pont)   II./A rész   13. Egy cég fénymásolókat ad bérbe. Kétféle típusból lehet választani: a Mismásoló esetében a havi bérleti díj 5000 Ft és másolatonként 8 Ft-ot kell fizetni; a Másmásoló esetén a havi bérleti díj 9500 Ft és másolatonként 5 Ft-ot kell fizetni. (Ezen kívül más költség nincs.) $a)$ Hány százalékkal kerül többe vagy kevesebbe a másolás havi 1000 példány esetén a Mismásolóval a Másmásolóhoz képest?  (2 pont) $b)$ Adja meg, hogy a havi példányszám függvényében melyik másolót érdemes választani!  (4 pont) $c)$ Fénymásoló üzletet akarunk nyitni, és ott havi 20 000 másolat elkészítésére számítunk. Hány forintban szabjuk meg egy példány árát, ha a másolási költségeinkhez képest $20\%$ haszonra akarunk szert tenni? (Az üzletbe a Másmásolót béreljük.)  (3 pont) $d)$ Fénymásoló üzletünkben a gépre átalánydíjas bérleti szerződést kötöttünk: havonta 20 000 másolatot előre kifizetünk a Másmásoló bérleti feltételeinek megfelelően, és ezért az összegért annyit másolunk, amennyit akarunk. Úgy döntünk, hogy 10 forintért árulunk egy másolatot. Egy hónapban már eladtunk 10 000 másolatot, és elérkezett a hónap utolsó napja. Kapunk egy 5 000 példányos megrendelést. Mennyiért vállaljuk el darabját, hogy az adott hónapra a befektetett pénzünkhöz képest $20\%$-os hasznot érjünk el?  (3 pont)   14. $a)$ Ábrázolja a pozitív valós számok halmazán értelmezett $x\mapsto \text{log}{}_{2}x$ függvényt!  (4 pont) $b)$ Oldja meg a valós számok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle 4^{x+\frac{3}{2}}-33\cdot 2^x+2^2=0}\end{array}$ egyenletet!  (8 pont)   15. Egy szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalainak hossza $8$, illetve $48$ egység. Szárának hossza megegyezik a rövidebb párhuzamos oldal és a magasság hosszának összegével. $a)$ Számítsa ki a trapéz területét!  (6 pont) $b)$ Határozza meg a trapéz köré írható kör sugarát!  (6 pont)   II./B rész   A 16., 17. és 18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania.   16. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! $a)$ $\text{sin}2x=\frac{1}{2}$;  (6 pont) $b)$ $\text{log}{}_2\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\text{log}{}_2\left(x^2-8x+16\right)=1+\text{log}{}_{2}3$.  (11 pont)   17. Három hajó a tengeren a közöttük kifeszített, szivaccsal borított kötél segítségével egy tankhajó-baleset alkalmával a vízbe került olajfoltot akar lokalizálni. A hajók között páronként vett távolság 40, 60 illetve 80 méter. Az olajfolt kitölti a szivacsos kötelek közti részt. $a)$ Mekkora az olajfolt területe?  (7 pont) $b)$ Az egyik hajó 20 fős legénységéből a rossz kosztra hivatkozva 15-en megtagadják a munkát. A kapitány véletlenszerűen kijelöl 2 matrózt a szivattyúhoz. Mi annak a valószínűsége, hogy a kijelöltek közül pontosan az egyik sztrájkoló?  (4 pont) $c)$ A legnagyobb hajó 80 fős legénységéből 10 svéd, 20 dán, 16 kínai és 34 német. Ábrázoljuk a legénység összetételét kördiagramon!  (6 pont)   18. Két kutya van kikötve a koordinátarendszerben: az egyik a $\left(4;5\right)$ ponthoz egy $2$ egység hosszúságú pórázzal, melynek egyik vége a pont körül szabadon foroghat; a másik az $3x+4y=7$ egyenletű egyeneshez egy 1 egység hosszú pórázzal, melynek egyik vége az egyenesen szabadon csúszhat. Mekkora a két kutya közti lehetséges legkisebb távolság?  (17 pont)