Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor I.
Szerző(k):  Kántor Sándor 
Füzet: 2005/áprilisi melléklet, 49 - 50. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):2005/extra1: Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. I. emelt szintű gyakorló feladataihoz

I. rész
 

1. Határozza meg az a és b pozitív egész számok lehetséges értékeit, ha a<b, továbbá teljesül, hogy ha x és y eleme az [a;b] intervallumnak, akkor 1x+1y is eleme [a;b]-nek!  (12 pont)
 
2. a) Oldja meg a valós számok halmazán a
1+xx2-16=x-1
egyenletet!  (5 pont) b) Adja meg a fenti egyenlet alaphalmazát!  (7 pont)
 
3. Egy autókereskedő ötfajta autót forgalmaz. Az egyes fajták darabját
2,32,833,13,5
MFt-ért adja el, és nyeresége (az eladási ár és a beszerzési ár különbsége) fajtánként a fenti sorrendben az eladási ár
32,52,42,12
százaléka. Ez a két adatsor a további vizsgálatok során nem változik. Az egyes fajtákból (fenti sorrendben)
2003-ban2532273819darabot,2004-ben2731293233darabot
adott el.
a) Mennyi volt a nyeresége 2003-ban, és mennyi 2004-ben?  (5 pont) b) Ha 2005-ben csak egy autófajtát forgalmaz, akkor melyik autófajtát (mennyi annak az egységára) érdemes forgalmaznia, és abból legalább hányat kell eladnia, ha a lehető legkevesebb autó eladásával akarja elérni a 2004-es nyereségét?  (7 pont)
 
4. Az r és az R sugarú körök kívülről érintik egymást, és r<R. Közös külső érintőik szöge α.
a) Mennyi Rr, ha α=60?  (5 pont) b) Mennyi α, ha Rr=53?  (5 pont) c) Mennyi annak a négyszögnek a területe, amelynek két csúcsa a körök középpontja, további két csúcsa pedig az egyik közös külső érintőn levő két érintési pont, ha R=5 és r=3?  (5 pont)
 

II. rész
 

5. A H halmaz a 2005-nél nem nagyobb pozitív egész számok halmazának olyan részhalmaza, hogy tetszőleges két elemének összege nem osztható hárommal. Legfeljebb hány eleme van ennek a H halmaznak?  (14 pont)
 
6. Egy dobozban öt piros golyó van.
a) Hány fehér golyót kell a dobozba tennünk, ha azt akarjuk, hogy ezután a dobozból a golyók közül egyet véletlenszerűen kihúzva (a golyók kihúzásának valószínűsége megegyezik) a kihúzott golyó 0,25 valószínűséggel piros legyen?  (6 pont) b) Legalább hány fehér és legalább hány fekete golyót kell a dobozba tennünk (mindegyikből legalább egyet teszünk), ha azt akarjuk, hogy ezután a dobozból a golyók közül egyet véletlenszerűen kihúzva, a kihúzott golyó 0,25 valószínűséggel ne fekete legyen?  (10 pont)
 
7. Oldja meg a valós számok halmazán az
logx(x2+x-4)<1
egyenlőtlenséget!  (16 pont)
 
8. Legyen A az a háromoldalú egyenes hasáb, amelynek alaplapja 2 oldalhosszúságú szabályos háromszög és oldalélének hossza is 2. Az egyik oldallapjának középpontján áthaladó, a lapra merőleges egyenes körül forgassuk el az A testet 90-kal, és jelöljük A'-vel az elforgatott testet!
Mennyi az AA' test
a) térfogata?  (8 pont) b) felszíne?  (8 pont)
 
9. a) Írja fel azoknak a paraboláknak az egyenletét, amelyek grafikonja a P(1;0) pontban érinti az y=2-2x egyenletű egyenes grafikonját, és tengelye az y tengellyel párhuzamos!  (9 pont) b) Hol helyezkednek el ezeknek a paraboláknak a csúcspontjai?  (9 pont)