Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor I.
Szerző(k):	Kántor Sándor
Füzet:	2005/áprilisi melléklet, 49 - 50. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):	2005/extra1: Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. I. emelt szintű gyakorló feladataihoz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozza meg az $a$ és $b$ pozitív egész számok lehetséges értékeit, ha $a<b$, továbbá teljesül, hogy ha $x$ és $y$ eleme az $\left[a;b\right]$ intervallumnak, akkor $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ is eleme $\left[a;b\right]$-nek!  (12 pont)   2. $a)$ Oldja meg a valós számok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{1+x\sqrt[]{x^2-16}}=x-1}\end{array}$ egyenletet!  (5 pont) $b)$ Adja meg a fenti egyenlet alaphalmazát!  (7 pont)   3. Egy autókereskedő ötfajta autót forgalmaz. Az egyes fajták darabját $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\mathrm{,}32\mathrm{,}833\mathrm{,}13\mathrm{,}5}\end{array}$ MFt-ért adja el, és nyeresége (az eladási ár és a beszerzési ár különbsége) fajtánként a fenti sorrendben az eladási ár $\begin{array}{c}{\displaystyle 32\mathrm{,}52\mathrm{,}42\mathrm{,}12}\end{array}$ százaléka. Ez a két adatsor a további vizsgálatok során nem változik. Az egyes fajtákból (fenti sorrendben) ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{2003-ban}}& {\displaystyle 2532273819\text{darabot,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2004-ben}}& {\displaystyle 2731293233\text{darabot}}\hfill \end{array}}$ adott el. $a)$ Mennyi volt a nyeresége 2003-ban, és mennyi 2004-ben?  (5 pont) $b)$ Ha 2005-ben csak egy autófajtát forgalmaz, akkor melyik autófajtát (mennyi annak az egységára) érdemes forgalmaznia, és abból legalább hányat kell eladnia, ha a lehető legkevesebb autó eladásával akarja elérni a 2004-es nyereségét?  (7 pont)   4. Az $r$ és az $R$ sugarú körök kívülről érintik egymást, és $r<R$. Közös külső érintőik szöge $\alpha$. $a)$ Mennyi $\frac{R}{r}$, ha $\alpha ={60}^{\circ }$?  (5 pont) $b)$ Mennyi $\alpha$, ha $\frac{R}{r}=\frac{5}{3}$?  (5 pont) $c)$ Mennyi annak a négyszögnek a területe, amelynek két csúcsa a körök középpontja, további két csúcsa pedig az egyik közös külső érintőn levő két érintési pont, ha $R=5$ és $r=3$?  (5 pont)   II. rész   5. A $H$ halmaz a 2005-nél nem nagyobb pozitív egész számok halmazának olyan részhalmaza, hogy tetszőleges két elemének összege nem osztható hárommal. Legfeljebb hány eleme van ennek a $H$ halmaznak?  (14 pont)   6. Egy dobozban öt piros golyó van. $a)$ Hány fehér golyót kell a dobozba tennünk, ha azt akarjuk, hogy ezután a dobozból a golyók közül egyet véletlenszerűen kihúzva (a golyók kihúzásának valószínűsége megegyezik) a kihúzott golyó 0,25 valószínűséggel piros legyen?  (6 pont) $b)$ Legalább hány fehér és legalább hány fekete golyót kell a dobozba tennünk (mindegyikből legalább egyet teszünk), ha azt akarjuk, hogy ezután a dobozból a golyók közül egyet véletlenszerűen kihúzva, a kihúzott golyó 0,25 valószínűséggel ne fekete legyen?  (10 pont)   7. Oldja meg a valós számok halmazán az $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_x\left(x^2+x-4\right)<1}\end{array}$ egyenlőtlenséget!  (16 pont)   8. Legyen $A$ az a háromoldalú egyenes hasáb, amelynek alaplapja $2$ oldalhosszúságú szabályos háromszög és oldalélének hossza is $2$. Az egyik oldallapjának középpontján áthaladó, a lapra merőleges egyenes körül forgassuk el az $A$ testet ${90}^{\circ }$-kal, és jelöljük $A\text{'}$-vel az elforgatott testet! Mennyi az $A\cup A\text{'}$ test $a)$ térfogata?  (8 pont) $b)$ felszíne?  (8 pont)   9. $a)$ Írja fel azoknak a paraboláknak az egyenletét, amelyek grafikonja a $P\left(1;0\right)$ pontban érinti az $y=2-2x$ egyenletű egyenes grafikonját, és tengelye az $y$ tengellyel párhuzamos!  (9 pont) $b)$ Hol helyezkednek el ezeknek a paraboláknak a csúcspontjai?  (9 pont)