Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor II.
Szerző(k):	Besnyőné Titter Beáta
Füzet:	2005/áprilisi melléklet, 50 - 52. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):	2005/extra1: Megoldásvázlatok a 2005/4, sz. II. emelt szintű gyakorló feladataihoz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozza meg azt a négy, egymás után következő páratlan számot, amelyek négyzeteinek összege $48$-cal nagyobb, mint a közéjük eső páros számok négyzeteinek összege!   2. Az egységnyi oldalú $ABCD$ négyzet $AB$, $BC$, $CD$ és $DA$ oldalán rendre vegye fel az $E$, $F$, $G$, $H$ pontokat úgy, hogy $AE=\frac{1}{2}$, $BF=\frac{1}{3}$, $CG=\frac{2}{3}$ és $DH=\frac{1}{2}$ legyen. Számítsa ki az $EFGH$ négyszög szögeit, kerületét, területét!   3. Az $1$, $2$, $3$ számjegyekből hatjegyű számokat képezünk. $a)$ Hányféle különböző számot kaphatunk? $b)$ Hány olyan szám van, amely mindhárom számjegyet legalább egyszer tartalmazza? $c)$ Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám páros? $d)$ Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám $3$-mal osztható?   4. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{\text{sin}x}\left(1-\text{cos}{}^{2}x\right)=2^{\sqrt[]{4-x^2}}\mathrm{.}}\end{array}$   II. rész   5. Péter 1000 kötetes könyvtára magyar, angol és német nyelvű könyvekből áll. A könyvek $p\%$-a magyar nyelvű, az idegen nyelvű könyvek $p\%$-a angol nyelvű, német nyelvű könyve mindössze 10 db van. Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek számát!   6. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1-\frac{4x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}-\frac{1}{1-x}-\frac{2x}{x^2-1}}\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Mi a fenti kifejezés értelmezési tartománya? $b)$ Hozza a kifejezést a lehető legegyszerűbb alakra! $c)$ Hány rácsponton halad át az $f\left(x\right)$ függvény grafikonja?   7. Egy szobor két egymásra rakott gömbből áll, ahol a felső gömb sugara fele az alsó gömb sugarának, a szobor magassága 3 méter. A tél viszontagságai ellen védeni akarták a szobrot, ezért pályázatot írtak ki ,,védőruha'' készítésére. Két pályamunka érkezett, az egyik négyzet alapú csonkagúla, a másik csonkakúp alakú védőruhát javasolt. Mindkettő palástja érinti a két gömböt és a fedőlapja a kisebbik gömböt (alaplapja egyiknek sincs). A csonkakúp alakú terv fajlagos költsége $12000\text{Ft/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$, a csonkagúláé $10000\text{Ft/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Melyik pályamunka kivitelezése lenne olcsóbb?   8. Egy logisztikai központba 24 órás időtartamon belül véletlen időpontban két kamion érkezik. Az előbb érkezőből rögtön megkezdik a kirakodást, mely az egyiken 1 órát, a másikon 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor a másikon még rakodnak, úgy várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mi a valószínűsége annak, hogy valamelyik kamionnak várakoznia kell a rakodásra?   9. Legyen egy sorozat $n$-edik eleme $a_n=\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}$, ahol $n\in {\text{N}}^{+}$. $a)$ Állapítsa meg $b$ és $c$ értékét úgy, hogy minden $n$-re $a_n=\frac{b}{2n+1}-\frac{c}{2n+3}$ legyen! $b)$ Számítsa ki az első 2005 tag összegének ötödik tizedesjegyét!