Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a felvételi előkészítő feladatsorhoz II.
Szerző(k):  Solti Lajos 
Füzet: 2004/áprilisi melléklet, 38 - 40. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. a) 9-(x-1)2>0 9>(x-1)2 -3<x-1<3 -2<x<4.
b) A jobb oldal átalakítása után: 2|sinx|=3 |sinx|=32 x=±π3+kπ, kZ.
c) Olyan x=±π3+kπ, kZ értékeket keresünk, amelyekre igaz, hogy: -2<x<4. Ezek a következők: x=±π3; x=2π3.
 
2. DOE=3605=72; ODE=BCT=54; BCD=108; BCD=108; CBD=36. Legyen CB=a.
a=4sin544,94cm.  
Az ötszög területe a DEO háromszög területének az ötszöröse.
t=54,942sin2542sin7241,99cm2.  
BF kiszámítása: ABCD trapéz átlói az alapok arányában osztják egymást, mert a BCF és a DAF háromszögek hasonlóak. Legyen BF=DG=x, 8-xx=84,94; x3,05cm. DG=3,05cm, FG=8-2x1,9cm.
 
 

3. a) Legyenek a számok sorrendben:
xy¯=10x+y;yx¯=10y+x;x0y¯=100x+y.100x+y-(10y+x)=10y+x-(10x+y);y=6x


egyenletből az x=1 és az y=6 megoldás adódik. Így az egyes táblákon a 16; 61; 106 számok láthatók. A keresett sebesség: v=106-61=61-16=45kmh.
b) A kérdésre a következő egyenlet megoldása adja a választ. Legyen visszafelé a sebesség ukmh. Ekkor:
1802+90u=4565,
innen u=67,5kmh.
 
4. Könnyen belátható, hogy hárommillió Ft alatt a második befektetés a jobb, hiszen az éves kamat 6,4%-nál is magasabb, míg az elsőnél csak 5,5%, ill. 6%. Ezért először kiszámítjuk, hogy 3 millió Ft mennyire növekszik két év alatt, millió Ft-ban számolva:
Az első változat szerint
1. év:11,055+21,06=3,1752. év:3,175+0,1751,07=3,36225.

További x összeget betéve:
T(x)=1,072x+3,36225=1,1449x+3,36225.
A második konstrukcióban
t(x)=1,0168x+31,0168=1,135402x+3,406206.
A T(x)=t(x) egyenlet gyöke adja azt az x értéket, melynél nagyobb x esetén az első, kisebb x esetén pedig a második befektetés a jobb.
1,1449x+3,36255=1,135402x+3,406206;x4,596336.
Tehát 4 596 336 Ft-nál nagyobb összegű tőke esetén az első befektetési forma kedvezőbb.
 
5. a) A háromnál nagyobb prímszámok páratlanok, tehát mindkét szomszédjuk páros. Legyen a három szám: p-1; p; p+1. Három egymást követő természetes szám közül az egyik osztható 3-mal. De ez nem lehet a p, mert háromnál nagyobb. Így a p-1 és a p-2 közül az egyik hárommal is és kettővel is osztható, tehát osztható hattal.
b) n4+4=(n2+2)2-4n2=(n2+2-2n)(n2+2+2n) és a kisebbik tényező
n2+2-2n=(n-1)2+1>1.
A második tényező meg ennél is nagyobb, a szorzat tehát összetett szám.
 
6. Kétféleképpen fordulhat elő, hogy fiú is és lány is van a felelők között: vagy két fiú és egy lány, vagy egy fiú és két lány felel. Ezen lehetőségek száma:
(62)4+(42)6=96.
Az összes lehetőség: (103)=120. Így a kérdezett valószínűség: p=96120=0,8.
 
7. 1sin4x+cos4x=1(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=11-sin22x2=22-sin22x,
-1-sin22x0,12-sin22x2,222-sin22x1.


A függvény értékkészlete az 1x2 halmaz.
Maximum: sin22x=1, ekkor
sin2x=±1;2x=π2+kπ;x=π4+kπ2(kZ).

Minimum: sin22x=0, ekkor
sin2x=0,2x=kπ;x=kπ2(kZ).

8. a) Abból, hogy 70%+60%=130%, az következik, hogy a társaság 30%-a mindkét nyelven beszél. Így 70%-30%=40% csak németül, 60%-30%=30% csak franciául beszél.
A válasz: p=30100=0,3.
b) Az a 12 személy nem tud franciául, aki csak németül beszél. Ez 40%. Akkor a 30% 9 fő, akik csak franciául beszélnek. Tehát azok száma, akik csak egy nyelvet beszélnek 12+9=21.
c) Az eddigiekből kiszámolható, hogy csak németül 12-en, csak franciául 9-en, mindkét nyelven 9-en beszélnek. A 6 érkező tag a harmadik számot 15-re változtatja. A társaság most már 36 tagú. A válasz: p=936=0,25.
 
9. Legyen: a1=x, b1=x+8 és a2=x-1, b2=y. A két terület egyenlőségéből felírhatjuk, hogy
(x-1)y=x(x+8),ebbőly=x(x+8)x-1=x2+8xx-1=x2-x+9xx-1=x+9xx-1,y=9x-9+9x-1+x=x+9+9x-1=x-1+9x-1+10,y=3(x-13+3x-1)+10.


Elég a zárójelben lévő kifejezés minimumát meghatározni. Ez egy pozitív számnak és a reciprokának az összege, amely akkor minimális, ha mindkét tag 1.
Tehát x-13=1, azaz x=4y=4123=16. Válasz: a1=4; b1=12; a2=3; b2=16.