A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. . A jobb oldal átalakítása után: , . Olyan , értékeket keresünk, amelyekre igaz, hogy: . Ezek a következők: ; .
2. ; ; ; ; . Legyen . Az ötszög területe a háromszög területének az ötszöröse. | | BF kiszámítása: ABCD trapéz átlói az alapok arányában osztják egymást, mert a BCF és a DAF háromszögek hasonlóak. Legyen BF=DG=x, 8-xx=84,94; x≈3,05cm. DG=3,05cm, FG=8-2x≈1,9cm.
3. a) Legyenek a számok sorrendben: xy¯=10x+y;yx¯=10y+x;x0y¯=100x+y.100x+y-(10y+x)=10y+x-(10x+y);y=6x
egyenletből az x=1 és az y=6 megoldás adódik. Így az egyes táblákon a 16; 61; 106 számok láthatók. A keresett sebesség: v=106-61=61-16=45kmh. b) A kérdésre a következő egyenlet megoldása adja a választ. Legyen visszafelé a sebesség ukmh. Ekkor: innen u=67,5kmh.
4. Könnyen belátható, hogy hárommillió Ft alatt a második befektetés a jobb, hiszen az éves kamat 6,4%-nál is magasabb, míg az elsőnél csak 5,5%, ill. 6%. Ezért először kiszámítjuk, hogy 3 millió Ft mennyire növekszik két év alatt, millió Ft-ban számolva: Az első változat szerint | 1. év:1⋅1,055+2⋅1,06=3,1752. év:3,175+0,175⋅1,07=3,36225. |
További x összeget betéve: | T(x)=1,072x+3,36225=1,1449x+3,36225. | A második konstrukcióban | t(x)=1,0168x+3⋅1,0168=1,135402x+3,406206. | A T(x)=t(x) egyenlet gyöke adja azt az x értéket, melynél nagyobb x esetén az első, kisebb x esetén pedig a második befektetés a jobb. | 1,1449x+3,36255=1,135402x+3,406206;x≈4,596336. | Tehát 4 596 336 Ft-nál nagyobb összegű tőke esetén az első befektetési forma kedvezőbb.
5. a) A háromnál nagyobb prímszámok páratlanok, tehát mindkét szomszédjuk páros. Legyen a három szám: p-1; p; p+1. Három egymást követő természetes szám közül az egyik osztható 3-mal. De ez nem lehet a p, mert háromnál nagyobb. Így a p-1 és a p-2 közül az egyik hárommal is és kettővel is osztható, tehát osztható hattal. b) n4+4=(n2+2)2-4n2=(n2+2-2n)(n2+2+2n) és a kisebbik tényező A második tényező meg ennél is nagyobb, a szorzat tehát összetett szám.
6. Kétféleképpen fordulhat elő, hogy fiú is és lány is van a felelők között: vagy két fiú és egy lány, vagy egy fiú és két lány felel. Ezen lehetőségek száma: Az összes lehetőség: (103)=120. Így a kérdezett valószínűség: p=96120=0,8.
7. 1sin4x+cos4x=1(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=11-sin22x2=22-sin22x, -1≤-sin22x≤0,1≤2-sin22x≤2,2≥22-sin22x≥1.
A függvény értékkészlete az 1≤x≤2 halmaz. Maximum: sin22x=1, ekkor | sin2x=±1;2x=π2+kπ;x=π4+kπ2(k∈Z). |
Minimum: sin22x=0, ekkor | sin2x=0,2x=kπ;x=kπ2(k∈Z). |
8. a) Abból, hogy 70%+60%=130%, az következik, hogy a társaság 30%-a mindkét nyelven beszél. Így 70%-30%=40% csak németül, 60%-30%=30% csak franciául beszél. A válasz: p=30100=0,3. b) Az a 12 személy nem tud franciául, aki csak németül beszél. Ez 40%. Akkor a 30% 9 fő, akik csak franciául beszélnek. Tehát azok száma, akik csak egy nyelvet beszélnek 12+9=21. c) Az eddigiekből kiszámolható, hogy csak németül 12-en, csak franciául 9-en, mindkét nyelven 9-en beszélnek. A 6 érkező tag a harmadik számot 15-re változtatja. A társaság most már 36 tagú. A válasz: p=936=0,25.
9. Legyen: a1=x, b1=x+8 és a2=x-1, b2=y. A két terület egyenlőségéből felírhatjuk, hogy (x-1)y=x(x+8),ebbőly=x(x+8)x-1=x2+8xx-1=x2-x+9xx-1=x+9xx-1,y=9x-9+9x-1+x=x+9+9x-1=x-1+9x-1+10,y=3(x-13+3x-1)+10.
Elég a zárójelben lévő kifejezés minimumát meghatározni. Ez egy pozitív számnak és a reciprokának az összege, amely akkor minimális, ha mindkét tag 1. Tehát x-13=1, azaz x=4y=4⋅123=16. Válasz: a1=4; b1=12; a2=3; b2=16. |