Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a felvételi előkészítő feladatsorhoz I.
Szerző(k):  Balga Attila 
Füzet: 2004/áprilisi melléklet, 36 - 38. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. A 3x-2y=22 egyenletű egyenes normálvektora: n(3;-2). Ez irányvektora a merőleges egyenesnek, melynek egyenlete: -2x-3y=-11 (vagy 2x+3y=11). A párhuzamos egyenes egyenlete 3x-2y=10.
 
2. Legyen α=VAF, ω=FVA, φ=VFA. Írjuk fel a koszinusztételt a VAF háromszög VF oldalára: VF2=VA2+FA2-2VFFAcosα, ebből: VF=10,87 km.
Írjuk fel a szinusztételt az ω szögre: sinωsinα=FAVF. Mivel 90<α, így ω<90, tehát ω=55,12. Mivel a háromszög szögösszege 180, φ=27,08.
 
3. Az első egyenlet mindkét oldalának y alapú logaritmusát véve a logy2x=4 egyenlethez jutunk, ebből logyx=-2 vagy logyx=2. Mivel a logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű, x=1y2, vagy x=y2. Az első esetben a második egyenlet: 2x=829, amiből x1=419, ebből csak az y1=341 megoldás felel meg a feltételeknek.
A második esetben a második egyenlet: x+1x=829. Ez a 9x2-82x+9=0 egyenlethez vezet, melynek megoldásai x2=19 és x3=9, ahonnan y2=13 és y3=3.
 
4. Legyen az első leértékelés x%-os, a második pedig y%-os. Így az ára:
(1-x100)(1-y100)36000=31806,ahonnan1165-100x-100y+xy=0,teháty=100x-1165x-100=100(x-100)+8835x-100=100+8835x-100.


Mivel x és y egészek, a 8 835 osztóit keressük. Mivel y és x egészek egyjegyűek, azért x=5 és y=7, vagy x=7 és y=5. Tehát a kerékpárt 5 és 7%-kal értékelték le.
2. megoldás: A végső ár: x100y10036000=31806, ebből: xy=8835. Tehát 8 835 osztóit keressük. Mivel y és x egész számok, valamint 90 és 100 közé esnek: x=95 és y=93, vagy x=93 és y=95. A kerékpárt 5 és 7%-kal értékelték le.
 
5. Szimmetriaokokból a beírt kocka csúcsai az alaplap átlóin és az oldaléleken helyezkednek el. Használjuk az ábra jelöléseit és legyen a kocka oldala a, a gúla magassága m. A feltételből: 36a2=196, azaz a=73. Ekkor: AO=72; BC=22a=726. Mivel az AOS háromszög hasonló a BCS háromszöghöz (oldalaik párhuzamosak), a megfelelő oldalak aránya:
BCAO=m-aa,ebbőlm=4918.
A gúla térfogata: V=480227177,85.
 
 

6. A számtani sorozat n-edik elemére vonatkozó képlet felhasználásával:
an=a1+(n-1)d,azazd=-13+(n-1)d,
ebből: 13=(n-2)d. Mivel n és d egész számok, azért d osztója a 13-nak, tehát d=1, vagy d=13.
Az első esetben: n=15, ekkor Sn=-90.
A második esetben: n=3, ekkor Sn=0.
 
7.
f(x)=4sin2xcos2x+2cos2x-54=4(1-cos2x)cos2x+2cos2x-54==-4cos4x+6cos2x-54=-(2cos2x-32)2+1.
Mivel egy négyzetszám nem lehet negatív, a kifejezés a cosx=±32 esetben maximális, azaz ha x=π6, vagy x=5π6 és a maximum értéke 1.
A kifejezés minimális, ha |2cos2x-32| maximális, azaz ha cosx=0, vagyis az x=π2 esetben, és a minimum értéke -54.
 
8. Jelöljük a szögeket a szokott módon α-val és β-val, a C csúcsnál lévő szögeket φ-vel. Írjuk fel a következő szinusztételeket: f2c3=sinβsinφ és f1c1=sinαsinφ. A két egyenletet elosztva egymással: f1c3f2c1=sinαsinβ.
Hasonló módon: f2c1+c2=sinαsin2φ és f1c2+c3=sinβsin2φ. A két egyenletet elosztva egymással: f2(c2+c3)f1(c1+c2)=sinαsinβ. Mivel a jobb oldalak egyenlők: f1c3f2c1=f2(c2+c3)f1(c1+c2), ahonnan f1f2=c1(c2+c3)c3(c1+c2), tehát az állítást bebizonyítottuk.