Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a felvételi előkészítő feladatsorhoz I.
Szerző(k):	Balga Attila
Füzet:	2004/áprilisi melléklet, 36 - 38. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A $3 x - 2 y = 22$ egyenletű egyenes normálvektora: $n (3; - 2)$ . Ez irányvektora a merőleges egyenesnek, melynek egyenlete: $- 2 x - 3 y = - 11$ (vagy $2 x + 3 y = 11$ ). A párhuzamos egyenes egyenlete $3 x - 2 y = 10$ .

2. Legyen

α = V A F ∢

ω = F V A ∢

φ = V F A ∢

. Írjuk fel a koszinusztételt a

V A F

háromszög

V F

oldalára:

V F^{2} = V A^{2} + F A^{2} - 2 \cdot V F \cdot F A \cdot cos α

, ebből:

V F = 10, 87

km.
Írjuk fel a szinusztételt az

ω

szögre:

\frac{sin ω}{sin α} = \frac{F A}{V F}

. Mivel

90^{\circ} < α

, így

ω < 90^{\circ}

, tehát

ω = 55, 12^{\circ}

. Mivel a háromszög szögösszege

180^{\circ}

φ = 27, 08^{\circ}

3. Az első egyenlet mindkét oldalának

y

alapú logaritmusát véve a

log_{y}^{2} x = 4

egyenlethez jutunk, ebből

log_{y} x = - 2

vagy

log_{y} x = 2

. Mivel a logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű,

x = \frac{1}{y^{2}}

, vagy

x = y^{2}

. Az első esetben a második egyenlet:

2 x = \frac{82}{9}

, amiből

x_{1} = \frac{41}{9}

, ebből csak az

y_{1} = \frac{3}{\sqrt[]{41}}

megoldás felel meg a feltételeknek.
A második esetben a második egyenlet:

x + \frac{1}{x} = \frac{82}{9}

. Ez a

9 x^{2} - 82 x + 9 = 0

egyenlethez vezet, melynek megoldásai

x_{2} = \frac{1}{9}

és

x_{3} = 9

, ahonnan

y_{2} = \frac{1}{3}

és

y_{3} = 3

4. Legyen az első leértékelés

x %

-os, a második pedig

y %

-os. Így az ára:

\begin{matrix} (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{y}{100}) \cdot 36 000 = 31 806, ahonnan \\ 1165 - 100 x - 100 y + x y = 0, tehát \\ y = \frac{100 x - 1165}{x - 100} = \frac{100 (x - 100) + 8 835}{x - 100} = 100 + \frac{8 835}{x - 100} . \end{matrix}

Mivel

x

és

y

egészek, a 8 835 osztóit keressük. Mivel

y

és

x

egészek egyjegyűek, azért

x = 5

és

y = 7

, vagy

x = 7

és

y = 5

. Tehát a kerékpárt 5 és 7%-kal értékelték le.
2. megoldás: A végső ár:

\frac{x}{100} \cdot \frac{y}{100} \cdot 36 000 = 31 806

, ebből:

x \cdot y = 8 835

. Tehát 8 835 osztóit keressük. Mivel

y

és

x

egész számok, valamint 90 és 100 közé esnek:

x = 95

és

y = 93

, vagy

x = 93

és

y = 95

. A kerékpárt 5 és 7%-kal értékelték le.

5. Szimmetriaokokból a beírt kocka csúcsai az alaplap átlóin és az oldaléleken helyezkednek el. Használjuk az ábra jelöléseit és legyen a kocka oldala

a

, a gúla magassága

m

. A feltételből:

36 a^{2} = 196

, azaz

a = \frac{7}{3}

. Ekkor:

A O = 7 \cdot \sqrt[]{2}

;

B C = \frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot a = \frac{7 \sqrt[]{2}}{6} .

Mivel az

A O S

háromszög hasonló a

B C S

háromszöghöz (oldalaik párhuzamosak), a megfelelő oldalak aránya:

\begin{matrix} \frac{B C}{A O} = \frac{m - a}{a}, ebből m = \frac{49}{18} . \end{matrix}

A gúla térfogata:

V = \frac{4802}{27} \approx 177, 85

6. A számtani sorozat

n

-edik elemére vonatkozó képlet felhasználásával:

\begin{matrix} a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d, azaz d = - 13 + (n - 1) \cdot d, \end{matrix}

ebből:

13 = (n - 2) d

. Mivel

n

és

d

egész számok, azért

d

osztója a 13-nak, tehát

d = 1

, vagy

d = 13

.
Az első esetben:

n = 15

, ekkor

S_{n} = - 90

.
A második esetben:

n = 3

, ekkor

S_{n} = 0

\begin{matrix} f (x) & = 4 sin^{2} x cos^{2} x + 2 cos^{2} x - \frac{5}{4} = 4 (1 - cos^{2} x) cos^{2} x + 2 cos^{2} x - \frac{5}{4} = \\ = - 4 cos^{4} x + 6 cos^{2} x - \frac{5}{4} = - {(2 cos^{2} x - \frac{3}{2})}^{2} + 1. \end{matrix}

Mivel egy négyzetszám nem lehet negatív, a kifejezés a

cos x = \pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}

esetben maximális, azaz ha

x = \frac{π}{6}

, vagy

x = \frac{5 π}{6}

és a maximum értéke 1.
A kifejezés minimális, ha

| 2 cos^{2} x - \frac{3}{2} |

maximális, azaz ha

cos x = 0

, vagyis az

x = \frac{π}{2}

esetben, és a minimum értéke

- \frac{5}{4}

8. Jelöljük a szögeket a szokott módon

α

-val és

β

-val, a

C

csúcsnál lévő szögeket

φ

-vel. Írjuk fel a következő szinusztételeket:

\frac{f_{2}}{c_{3}} = \frac{sin β}{sin φ}

és

\frac{f_{1}}{c_{1}} = \frac{sin α}{sin φ}

. A két egyenletet elosztva egymással:

\frac{f_{1} \cdot c_{3}}{f_{2} \cdot c_{1}} = \frac{sin α}{sin β}

.
Hasonló módon:

\frac{f_{2}}{c_{1} + c_{2}} = \frac{sin α}{sin 2 φ}

és

\frac{f_{1}}{c_{2} + c_{3}} = \frac{sin β}{sin 2 φ}

. A két egyenletet elosztva egymással:

\frac{f_{2} \cdot (c_{2} + c_{3})}{f_{1} \cdot (c_{1} + c_{2})} = \frac{sin α}{sin β}

. Mivel a jobb oldalak egyenlők:

\frac{f_{1} \cdot c_{3}}{f_{2} \cdot c_{1}} = \frac{f_{2} \cdot (c_{2} + c_{3})}{f_{1} \cdot (c_{1} + c_{2})}

, ahonnan

\frac{f_{1}}{f_{2}} = \sqrt[]{\frac{c_{1} \cdot (c_{2} + c_{3})}{c_{3} \cdot (c_{1} + c_{2})}}

, tehát az állítást bebizonyítottuk.