A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A egyenletű egyenes normálvektora: . Ez irányvektora a merőleges egyenesnek, melynek egyenlete: (vagy ). A párhuzamos egyenes egyenlete .
2. Legyen , , . Írjuk fel a koszinusztételt a háromszög oldalára: , ebből: km. Írjuk fel a szinusztételt az szögre: . Mivel , így , tehát . Mivel a háromszög szögösszege , .
3. Az első egyenlet mindkét oldalának alapú logaritmusát véve a egyenlethez jutunk, ebből vagy . Mivel a logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű, , vagy . Az első esetben a második egyenlet: , amiből , ebből csak az megoldás felel meg a feltételeknek. A második esetben a második egyenlet: . Ez a egyenlethez vezet, melynek megoldásai és , ahonnan és .
4. Legyen az első leértékelés -os, a második pedig -os. Így az ára:
Mivel és egészek, a 8 835 osztóit keressük. Mivel és egészek egyjegyűek, azért és , vagy és . Tehát a kerékpárt 5 és 7%-kal értékelték le. 2. megoldás: A végső ár: , ebből: . Tehát 8 835 osztóit keressük. Mivel és egész számok, valamint 90 és 100 közé esnek: és , vagy és . A kerékpárt 5 és 7%-kal értékelték le.
5. Szimmetriaokokból a beírt kocka csúcsai az alaplap átlóin és az oldaléleken helyezkednek el. Használjuk az ábra jelöléseit és legyen a kocka oldala , a gúla magassága . A feltételből: , azaz . Ekkor: ; Mivel az háromszög hasonló a háromszöghöz (oldalaik párhuzamosak), a megfelelő oldalak aránya: A gúla térfogata: .
6. A számtani sorozat -edik elemére vonatkozó képlet felhasználásával: | | ebből: . Mivel és egész számok, azért osztója a 13-nak, tehát , vagy . Az első esetben: , ekkor . A második esetben: , ekkor .
7.
Mivel egy négyzetszám nem lehet negatív, a kifejezés a esetben maximális, azaz ha , vagy és a maximum értéke 1. A kifejezés minimális, ha maximális, azaz ha , vagyis az esetben, és a minimum értéke .
8. Jelöljük a szögeket a szokott módon -val és -val, a csúcsnál lévő szögeket -vel. Írjuk fel a következő szinusztételeket: és . A két egyenletet elosztva egymással: . Hasonló módon: és . A két egyenletet elosztva egymással: . Mivel a jobb oldalak egyenlők: , ahonnan , tehát az állítást bebizonyítottuk. |