Cím: Felvételi előkészítő feladatsor I.
Szerző(k):  Balga Attila 
Füzet: 2004/áprilisi melléklet, 33 - 34. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Határozzuk meg azon egyenes egyenletét, amely átmegy a P(4;1) ponton és merőleges a 3x-2y=22 egyenletű egyenesre, illetve amely párhuzamos vele.
 

2. Traianus császár uralkodásának első éveiben a Vesta szüzek temploma (V) és egy új forrás (F) között vízvezetéket kellett építeni. A várost és a forrást elválasztó hegyet olcsóbb volt átfúrni, mint a vízvezetéket az egyenes vonaltól eltérítve lefektetni. Két oldalról akarták elkezdeni a fúrást, hogy gyorsabban megépülhessen a tervezett vezeték. Szerencsére a városban tartózkodott az alexandriai Menelaosz, aki a következőképpen oldotta meg a problémát: Ahhoz, hogy a fúrást végző csapatok találkozzanak, ismerni kell a VF egyenes állását. Ennek meghatározásához egy alappontot (A) vett fel, amelyik a várostól 5, a forrástól 9 km távolságra van, s megmérte a VAF szöget: 97,8.
a) Határozzuk meg, milyen hosszú lesz a vízvezeték.
b) Mekkora szöget zárjon be a fúrás helyét megadó VF félegyenes a VA félegyenessel, illetve az FV félegyenes az FA félegyenessel?
 

3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az 1-től különböző pozitív valós számpárok halmazán:
xlogyx=y4;x+1y2=829.
 

4. Egy 36000Ft-os kerékpárt leértékeltek valahány %-kal. Mivel így sem fogyott eléggé, kis idő múlva újra leértékelték néhány %-kal. Mindkét esetben a leértékelés egyjegyű egész szám volt. Így 31806Ft-ért árulták.
Hány %-kal értékelték le először és hány %-kal másodszor a televíziót?
 

5. A Louvre udvarán felépített üvegpiramis (négyzet alapú egyenes gúla) alapnégyzetének oldala 15. A gúlába a tervezők olyan kockát építettek be, amelynek egy lapja illeszkedik a gúla alaplapjára, szemközti lapjának csúcsai pedig a gúla oldaléleire. A kocka oldalfalai, valamint a teteje szintén üvegből vannak. Mekkora az üvegpiramis térfogata, ha az alapnégyzetének beborítására ötször annyi anyagot használtak fel, mint a kocka üvegfalainak elkészítésére?
 

6. Egy számtani sorozat első eleme -13. A sorozat n. eleme (1<n) egyenlő a sorozat differenciájával, ami egy pozitív egész szám. Számítsuk ki a sorozat első n elemének összegét.
 

7. A sürgősségi osztályra sokkos állapotban lévő beteget szállítottak. A szívritmus elemző készülék meghatározta, hogy a beteg szívritmusa az
f(x)=sin22x+2cos2x-54
függvény szerint változik. Green doktor terápiája szerint akkor kell a gyógyszert adagolni, amikor a szívritmus a legkisebb és legnagyobb értékét veszi fel a [0;π] intervallumban, és az adag mennyisége a legkisebb és legnagyobb érték szerint változzon. Sajnos ekkor a gép elromlott. Szerencsére Carter doktor egyben műkedvelő matematikus is, így sikeresen meghatározta a kérdéses szélsőérték-helyeket és szélsőértékeket. Milyen eredményre jutott?
 

8. Az ABC háromszög C csúcsából induló f1 és f2 szögharmadolók a szemközti oldalt rendre a c1, c2, c3 szakaszokra bontják. Bizonyítsuk be, hogy
f1f2=c1(c2+c3)c3(c1+c2).