Cím: Középszintű írásbeli matematika érettségi gyakorló feladatsor
Füzet: 2004/szeptemberi melléklet, 25 - 36. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor


Az OM honlapján (http://www.om.hu) található 2005-ben bevezetésre kerülő kétszintű matematika vizsga mintafeladatai
 

I. rész
 

A feladatok megoldására 45 perc fordítható.
A feladatok megoldásához zsebszámológépet és négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos.

 
1. Adott két halmaz:
A={egyjegyű pozitív páratlan számok};
B={2;3;5;7}.
Sorolja fel az AB és az AB halmaz elemeit!  (2 pont)
 

2. Jelölje be, hogy az alábbi egyenlőségek igaz vagy hamis állítások! (a>0, a1)
a) a3a4=a12  (1 pont)
b) a8:a2=a4.  (1 pont)
 

3. Adott a következő hétjegyű szám: 135947X. Milyen számjegyeket írhatunk az X helyére, hogy az így kapott hétjegyű szám 4-gyel osztható legyen?  (2 pont)
 

4. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
3x=81(2 pont)

 
5. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést! Írja le a megoldás egyes lépéseit!
x2-1x-1,xR{1}.(2 pont)

 
6. Hányféleképpen lehet egy 10 fős társaságból egy elnököt és egy titkárt választani? Megoldását indokolja!  (2 pont)
 

 
7. Egy szabályos hatszög csúcsai: A, B, C, D, E, F, középpontja K. Legyen a BA=a és BC=b. Fejezze ki a megadott vektorok segítségével a DE és a BK vektorokat!  (3 pont)
 

 
8. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Mekkora az esélye, hogy egyszer fejet és kétszer írást kapjunk? Megoldását indokolja!  (3 pont)
 

9. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! Megoldását indokolja!
23(x2-1)=10.(4 pont)

 
10. Milyen valós x-ekre értelmezhetők a következő kifejezések?
a) 5-x  (2 pont)
b) lg(5-x)  (2 pont)
 
11. Mi az alábbi, grafikonjával megadott függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?  (4 pont)
 
 

 
II. rész
A

 

A feladatok megoldására 135 perc fordítható.
A feladatok megoldásához zsebszámológépet és négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos.

 
12. Kör alakú amfiteátrum küzdőterének két átellenes pontjában áll egy-egy gladiátor, az uralkodó a pálya szélén ül. A gladiátorok egyenes vonalban odafutnak az uralkodóhoz. Az egyik 20 métert, a másik eggyel többet tesz meg, amíg odaér. Mekkora az amfiteátrum sugara? Készítsen ábrát is a megoldáshoz!  (12 pont)
 

13. Magyarországon egy átlagos család egy főre eső napi vízfogyasztása 152 liter. Ez a fogyasztás több részből tevődik össze: főzés, mosogatás, WC-használat, mosakodás, mosás, egyebek. A felsoroltak vízfogyasztási aránya rendre 4%, 4%, 25%, 26%, 30%, 11%. A vízdíj 140Ft/m3.
a) Ha minden egyes mosásnál egy takarékosabb mosógéppel 25%-kal kevesebbet használunk, akkor ‐ a lakosság létszámát 10 millióra kerekítve ‐ hány m3 vizet takarít meg az ország lakossága egy év (365 nap) alatt?  (6 pont)
b) Ez hány százaléka az összes vízfogyasztásnak?  (3 pont)
c) Mennyi naponta a lakossági megtakarítás értéke összesen? Az eredményt adja meg normálalakban is!  (3 pont)
 

14. Egy adatsor öt számból áll, amelyből kettő elveszett, a maradék három: 3; 4; 7. Tudjuk, hogy a módusz 4, és az adatok átlaga (számtani közepe) 6,5.
a) Mi a számsor hiányzó két adata? Válaszát indokolja!  (5 pont)
b) Mennyi az adatok mediánja? Válaszát indokolja!  (3 pont)
c) Számolja ki az adatok szórását!  (4 pont)
 
II. rész
B

 

A 15.‐17. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania.
 
15. Reklámcélokra fémből készült tömör dísztárgyakat gyártanak. Ha olyan négyzet alapú szabályos gúla alakúakat öntenek, ahol a gúla alapéle is, magassága is 5 cm, akkor 100 darabra elég a nyersanyag.
a) Mekkora a nyersanyag térfogata?  (3 pont)
b) Mennyibe kerülne a 100 gúla befestése, ha 1m2 felület festési költsége 1200 Ft?  (7 pont)
Az ellenőrzés során kiderült, hogy az elkészült dísztárgyak 5%-a selejtes. A 100 gúlát tartalmazó dobozból véletlenszerűen nyolcat választunk ki.
c) Hányféleképpen lehet kiválasztani nyolc hibátlan kockát?  (2 pont)
d) Mennyi az esélye, hogy a nyolc darab kiválasztott gúla közül éppen 3 darab lesz selejtes?  (5 pont)
 

16. a) Mutassa meg, hogy a 42x2-26x+75=64 egyenletnek a valós számok körében csak a 4 és a 9 a megoldásai!  (5 pont)
b) Egy számtani sorozat első tagja a 42x2-26x+75=64 egyenlet nagyobbik gyöke, a számtani sorozat különbsége pedig az egyenlet kisebbik gyöke. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!  (4 pont)
c) Ha e sorozat első n tagjának összege 3649, akkor mennyi az n értéke?  (8 pont)
 

17. Írja fel annak a két egyenesnek az egyenletét, amelyek párhuzamosak a 3x-4y=0 egyenletű egyenessel, és érintik az x2+y2-2x+4y-20=0 egyenletű kört!  (17 pont)
 

JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
 

Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével:
 

Formai előírások:
 A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb.
 A feladatok mellett található téglalapok közül az elsőben a feladatra adható pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül.
 Kifogástalan megoldás esetén elég a megfelelő maximális pontszám beírása a téglalapokba.
 Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra.

 

Tartalmi kérések:
 Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit és ennek alapján pontozzon.
 A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek.
 Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett.
 Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni.
 Elvi hiba esetén, egy gondolati egységen belül a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban az elhibázott részt egy újabb részkérdés követi, és a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot.
 Egy feladatra adott megoldások közül csak egy (a magasabb pontszámú) értékelhető.
 A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható.
 A vizsgadolgozat I. részében kitűzött feladatok esetében elég a helyes választ megadni, amennyiben a feladat szövege nem rendelkezik másképp. A javítás során azt az eredményt, illetve megoldást kell figyelembe venni, amit a vizsgázó az erre a célra szolgáló keretbe írt. Ha ott esetleges hibás megoldás áthúzása miatt nem maradt hely a vizsgázó által helyesnek ítélt válasz számára, akkor figyelembe vehető a kereten kívül szereplő helyes válasz is.
 Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel.
 Ha a pontozási útmutató a feladat ellenőrzéséért pontot ad, akkor az csak abban az esetben adható meg, ha a vizsgázó valamilyen formában írásban rögzíti az ellenőrzés tényét. (Itt minden elvileg helyes módszer elfogadható.)
 A középszintű vizsgafeladatsor II/B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, melynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani, csak a többi feladatot. Ha ezen előírások alapján a javító számára nem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a nem értékelendő feladat automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz.

 
I. rész
 

1. feladat. A={1;3;5;7;9}, B={2;3;5;7}.
(Az elemek felsorolásáért nem jár pont.)
AB={3;5;7}.  1 pont
AB={1;9}.
(Jó halmazábra is elfogadható.)  1 pont
(Ha nem használja a halmazjelölést, csak felsorol, akkor is jár a pont.)
Összesen: 2 pont
 

2. feladat.
a) hamis.  1 pont
b) hamis.  1 pont
Összesen: 2 pont
 

3. feladat. X=2.  1 pont
X=6.  1 pont
(Ha a helyes számok mellett rossz számjegyek is szerepelnek: 0 pont)
Összesen: 2 pont
 

4. feladat. x=4.  2 pont
(Levezetés nélkül is jár a 2 pont.)
Összesen: 2 pont
 

5. feladat. x2-1x-1=(x+1)(x-1)x-1=
(A nevezetes azonosság felírásáért.)  1 pont
=x+1.
(A jó végeredményért.)  1 pont
Összesen: 2 pont
 

6. feladat. Az elnököt 10 tagból 10-féleképpen, a titkárt pedig 9 tagból 9-féleképpen lehet kiválasztani: 109.  1 pont
90.
(Ha csak a végeredményt közli, akkor 1 pont adható.)  1 pont
Összesen: 2 pont
 

7. feladat. DE=a
(Ha a helyett BA szerepel, az is elfogadható.)  1 pont
BK=a+b.  2 pont
Összesen: 3 pont
 

8. feladat. A lehetőségek:
fff; ffi; fif; iff; fii̲; ifi̲; iif̲; iii.  1 pont
A nyolc közül csak három jó, ezért az esély 38.
(Ha csak a jó végeredményt írja fel, akkor is jár a 2 pont.)  2 pont
Összesen: 3 pont
 

9. feladat. x2-1=15.
x2=16.
(Ha az x2=16 egyenletig eljut.)  2 pont
x=4.  1 pont
x=-4.  1 pont
(Ha |x|=4 a végeredmény, azért 3 pont adható.)
Összesen: 4 pont
 

 
10. feladat. a) x5.  2 pont
(Ha az egyenlőség nem szerepel, akkor 1 pont adható.)
Összesen: 2 pont

b) x<5.  2 pont
(Ha az egyenlőséget is megengedi, akkor 1 pont adható.)
Összesen: 2 pont
 

11. feladat. É. T: [1;5].  2 pont
É. K: [-3;2].  2 pont
(Ha valamelyik intervallum pontatlan, akkor arra a részre csak 1 pont jár.)
Összesen: 4 pont

 
II./A rész
 

12. feladat.
 
 

(Megfelelő rajz (kör; átmérő két végpontja és egy kerületi pont).)  2 pont
Derékszögű háromszög.
(Thalész-tétel említése szövegben, vagy a derékszög jelölése a rajzon.)  2 pont
(2r)2=202+212.
(Pitagorasz-tétel felírása. Ha a zárójel hiányzik, de úgy folytatja, mintha lenne, akkor csak 2 pont jár. Ha a zárójel hiányzik, és e szerint is folytatja, akkor az egész feladatra maximum 8 pontot kaphat.)  3 pont
4r2=400+441.  1 pont
r2=8414.
(Egyenletrendezés.)  2 pont
r=210,25.
r=14,5.
(A sugár jó kiszámolása.)  1 pont
Tehát a keresett sugár 14,5 méter.
(Szöveges válasz. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az 1 pont.)  1 pont
Összesen: 12 pont

 
13. feladat. a) Naponta 152 liter, ennek 30%-a: 152liter0,3=45,6 liter.  1 pont
A megtakarítás naponta: 45,6liter0,25=11,4 liter.  1 pont
107 lakosra: 11,4107 liter.
(Ha a mértékegységet nem írja ki minden sorban, az is elfogadható.)  2 pont
1 év alatt: 11,4107365liter=4,1611010 liter.  1 pont
A megtakarítás: 4,161107m3.  1 pont
(A mértékegységnek a végeredményben szerepelnie kell.)
Összesen: 6 pont

b) 1. megoldás:
A megtakarítás %-ban kifejezve:
0,30,25=0,075, azaz 7,5%.  3 pont
Összesen: 3 pont

2. megoldás:
Az éves összes vízfogyasztás: 15210-3m3107365 = 5,548108 m3.  1 pont
A megtakarítás %-ban kifejezve:
4,161107m35,548108m3=0,075,  1 pont
azaz 7,5%.  1 pont
Összesen: 3 pont

c) A lakossági megtakarítás naponta:
11,4107liter=11,4104m3.  1 pont
A lakossági megtakarítás értéke:
11,4104m3   140 Ft/m3  = 15 960 000 Ft naponta.  1 pont
Normálalakban: 1,596107 Ft.  1 pont
(Ha az a) részben rossz eredményt kap, és ezzel jól számol a b) és a c) részben, akkor ezekre jár a 3, ill. 3 pont.)
Összesen: 3 pont
 

 
14. feladat. a) Az átlag: 3+4+7+x+y5=6,5.  1 pont
x+y=18,5.  1 pont
A módusz 4, ezért a 4 legalább kétszer előfordul:  1 pont
az egyik szám 4;  1 pont
a másik pedig 14,5.  1 pont
(Bármilyen helyes gondolatmenettel kapott helyes eredményért 5 pont jár.)
Összesen: 5 pont

b) A medián: 4, mivel a  1 pont
3; 4; 4; 7; 14,5 adatsorban a középső éppen 4.  2 pont
Összesen: 3 pont

c) σ=(6,5-3)2+2(6,5-4)2+(6,5-7)2+(6,5-14,5)25.  2 pont
(Ha nem írja fel a képletet, hanem a számológép segítségével számol, akkor is jár a 2 pont.)
Az adathalmaz szórása: 4,22.  2 pont
Összesen: 4 pont

 
II./B rész
 

A 15‐17. feladatokból csak kettőt kellett megoldani, és csak kettő értékelhető.
 
15. feladat.
 
 

A négyzetes gúla térfogata:
Vgúla=TM3=a2M3.
Vgúla=533=125341,67.
1 db gúla térfogata 41,67cm3.
(A gúla térfogatának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.)
 2 pont
100 db-ra elég a nyersanyag, azaz a nyersanyag térfogata:
V100=1250034166,67.
Tehát a nyersanyag térfogata 4166,67cm3.
(100 db térfogata. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az 1 pont.)  1 pont
Összesen: 3 pont

b) A=a2+4am2.
Pitagorasz-tétel alkalmazása:
m2=52+2,52.  1 pont
m5,59.
A gúla oldallapjának magassága 5,59 cm.
(Az oldallap magasságának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.)  1 pont
A1=52+455,592=80,9.
Egy gúla felszíne: 80,9 cm2.
(Egy gúla felszínének kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.)  2 pont
100 gúla felszíne:
A100=8090cm2=  1 pont
=0,809m2.
(100 gúla felszíne m2-ben megadva. A mértékegység megadása szükséges.)  1 pont
Költség =1200A100=970,8. Tehát a festés költsége 970,8 Ft.  1 pont
Összesen: 7 pont

c) A 100 gúla közül 95 hibátlan és  1 pont
5 hibás.  1 pont
A kiválasztott 8 között nincs selejtes, tehát ezt a nyolcat a hibátlanok közül kell kiválasztani. 95 hibátlanból 8-at kell kiválasztani úgy, hogy a gúlák sorrendje közömbös, ezért: (958).
(Indoklás nélkül is elfogadható a jó eredmény.)  2 pont
Összesen: 4 pont

d) Ebben az esetben 3 selejtest kell kiválasztani az 5 hibásból: (53);  1 pont
és 5 jót pedig a 95 hibátlanból: (955)  1 pont
A kedvező lehetőség: (53)(955).  1 pont
Az összes lehetőség: (1008).  1 pont
A végeredmény: (53)(955)(1008)=310-3.  1 pont
Összesen: 5 pont

 
16. feladat. a) 42x2-26x+75=43.  1 pont
Az exponenciális függvény monotonitása miatt:  1 pont
2x2-26x+75=3.  1 pont
x1=9.  1 pont
x2=4.  1 pont
(Ha azt mutatja meg, hogy ezek jó gyökök, de nem mutatja meg, hogy más megoldás nincs, akkor 2 pont adható.)
Összesen: 5 pont

b) Tehát a számtani sorozatban
a1=9 és d=4.  2 pont
Sn=a1+an2n=2a1+(n-1)d2n.
S5=18+4425.  1 pont
S5=85.  1 pont
Összesen: 4 pont

c) Sn=a1+an2n=2a1+(n-1)d2n.

3649=18+(n-1)42n.  2 pont
2n2+7n-3649=0.  2 pont
n1=71.  1 pont
n2=-44,5.  1 pont
Ez nem megoldása a feladatnak.  1 pont
Tehát az első 41 tag összege 3649.  1 pont
Összesen: 8 pont
 

17. feladat.
 
 
1. megoldás:
x2+y2-2x+4y-20-0.
(x-1)2+(y+2)2=25.
(A kör egyenletének rendezéséért.)  2 pont
K(1;-2).
(A középpont meghatározásáért összesen 3 pont adható.)  1 pont
a:3x-4y=0,
na(3;-4).
(Az a egyenes normálvektorának felírásáért.)  1 pont
nf(4;3).
(Az f egyenes normálvektorának felírásáért.)  1 pont
K(1;-2).
f:4x+3y=-2.
(Az f egyenes egyenletéért összesen 3 pont adható.)  1 pont
Az egyenes és a kör metszéspontja adja az érintési pontokat:
4x+3y=-2,x2+y2-2x+4y-20=0.}
(Az egyenletrendszer felírásáért.)  1 pont
x2-2x-8=0 vagy y2+4y-12=0.
(Valamelyik egyismeretlenes egyenletért.)  4 pont
x1=-2x2=4.
(A gyökök.)  1 pont
y1=2y2=-6.
(A másik két gyök.)  1 pont
E1(-2;2)E2(4;-6).
(Az érintési pontok.)  2 pont
Az érintők egyenlete:
3x-4y=36,  1 pont
3x-4y=-14.  1 pont
Összesen: 17 pont

2. megoldás:
Az érintők párhuzamosak a megadott egyenessel, ezért paraméteres egyenletük:
3x-4y=c,
y=3x-c4.
(Az érintő paraméteres egyenletének felírásáért.)  2 pont
x2+(3x-c4)2-2x+43x-c4-20=0.
(A kör egyenletébe való behelyettesítéséért.)  1 pont
25x2+(-6c+16)x+c2-16c-320=0.
(A paraméteres másodfokú egyenlet rendezett alakjáért.)  3 pont
Az egyenesnek és a körnek akkor van egy közös pontja, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla.
(A feltétel megfogalmazása szövegben vagy jelöléssel.)  2 pont
D=(-6c+16)2-100(c2-16c-320)=0.
(A diszkrimináns felírásáért.)  3 pont
c2-22c-504=0.
(Másodfokú egyenlet rendezett alakjáért.)  2 pont
c1=36.  1 pont
c2=-14.  1 pont
Az érintők egyenlete:
3x-4y=36.  1 pont
3x-4y=-14.  1 pont
Összesen: 17 pont