A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.Az OM honlapján (http://www.om.hu) található 2005-ben bevezetésre kerülő kétszintű matematika vizsga mintafeladatai I. rész
‐ | A feladatok megoldására 45 perc fordítható. |
‐ | A feladatok megoldásához zsebszámológépet és négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos. |
1. Adott két halmaz: egyjegyű pozitív páratlan számok; . Sorolja fel az és az halmaz elemeit! (2 pont) 2. Jelölje be, hogy az alábbi egyenlőségek igaz vagy hamis állítások! (, ) (1 pont) . (1 pont) 3. Adott a következő hétjegyű szám: . Milyen számjegyeket írhatunk az helyére, hogy az így kapott hétjegyű szám 4-gyel osztható legyen? (2 pont) 4. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
5. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést! Írja le a megoldás egyes lépéseit!
6. Hányféleképpen lehet egy 10 fős társaságból egy elnököt és egy titkárt választani? Megoldását indokolja! (2 pont)
7. Egy szabályos hatszög csúcsai: , , , , , , középpontja . Legyen a és . Fejezze ki a megadott vektorok segítségével a és a vektorokat! (3 pont)
8. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Mekkora az esélye, hogy egyszer fejet és kétszer írást kapjunk? Megoldását indokolja! (3 pont) 9. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! Megoldását indokolja!
10. Milyen valós -ekre értelmezhetők a következő kifejezések? (2 pont) (2 pont)
11. Mi az alábbi, grafikonjával megadott függvény értelmezési tartománya és értékkészlete? (4 pont)
II. rész A
‐ | A feladatok megoldására 135 perc fordítható. |
‐ | A feladatok megoldásához zsebszámológépet és négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos. |
12. Kör alakú amfiteátrum küzdőterének két átellenes pontjában áll egy-egy gladiátor, az uralkodó a pálya szélén ül. A gladiátorok egyenes vonalban odafutnak az uralkodóhoz. Az egyik 20 métert, a másik eggyel többet tesz meg, amíg odaér. Mekkora az amfiteátrum sugara? Készítsen ábrát is a megoldáshoz! (12 pont) 13. Magyarországon egy átlagos család egy főre eső napi vízfogyasztása 152 liter. Ez a fogyasztás több részből tevődik össze: főzés, mosogatás, WC-használat, mosakodás, mosás, egyebek. A felsoroltak vízfogyasztási aránya rendre 4%, 4%, 25%, 26%, 30%, 11%. A vízdíj . a) Ha minden egyes mosásnál egy takarékosabb mosógéppel 25%-kal kevesebbet használunk, akkor ‐ a lakosság létszámát 10 millióra kerekítve ‐ hány m3 vizet takarít meg az ország lakossága egy év (365 nap) alatt? (6 pont) b) Ez hány százaléka az összes vízfogyasztásnak? (3 pont) c) Mennyi naponta a lakossági megtakarítás értéke összesen? Az eredményt adja meg normálalakban is! (3 pont) 14. Egy adatsor öt számból áll, amelyből kettő elveszett, a maradék három: 3; 4; 7. Tudjuk, hogy a módusz 4, és az adatok átlaga (számtani közepe) 6,5. a) Mi a számsor hiányzó két adata? Válaszát indokolja! (5 pont) b) Mennyi az adatok mediánja? Válaszát indokolja! (3 pont) c) Számolja ki az adatok szórását! (4 pont)
II. rész B A 15.‐17. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania.
15. Reklámcélokra fémből készült tömör dísztárgyakat gyártanak. Ha olyan négyzet alapú szabályos gúla alakúakat öntenek, ahol a gúla alapéle is, magassága is 5 cm, akkor 100 darabra elég a nyersanyag. a) Mekkora a nyersanyag térfogata? (3 pont) b) Mennyibe kerülne a 100 gúla befestése, ha 1m2 felület festési költsége 1200 Ft? (7 pont) Az ellenőrzés során kiderült, hogy az elkészült dísztárgyak 5%-a selejtes. A 100 gúlát tartalmazó dobozból véletlenszerűen nyolcat választunk ki. c) Hányféleképpen lehet kiválasztani nyolc hibátlan kockát? (2 pont) d) Mennyi az esélye, hogy a nyolc darab kiválasztott gúla közül éppen 3 darab lesz selejtes? (5 pont) 16. a) Mutassa meg, hogy a 42x2-26x+75=64 egyenletnek a valós számok körében csak a 4 és a 9 a megoldásai! (5 pont) b) Egy számtani sorozat első tagja a 42x2-26x+75=64 egyenlet nagyobbik gyöke, a számtani sorozat különbsége pedig az egyenlet kisebbik gyöke. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét! (4 pont) c) Ha e sorozat első n tagjának összege 3649, akkor mennyi az n értéke? (8 pont) 17. Írja fel annak a két egyenesnek az egyenletét, amelyek párhuzamosak a 3x-4y=0 egyenletű egyenessel, és érintik az x2+y2-2x+4y-20=0 egyenletű kört! (17 pont)
JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével:
Formai előírások: • | A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. |
• | A feladatok mellett található téglalapok közül az elsőben a feladatra adható pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. |
• | Kifogástalan megoldás esetén elég a megfelelő maximális pontszám beírása a téglalapokba. |
• | Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. |
Tartalmi kérések: • | Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit és ennek alapján pontozzon. |
• | A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. |
• | Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. |
• | Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. |
• | Elvi hiba esetén, egy gondolati egységen belül a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban az elhibázott részt egy újabb részkérdés követi, és a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot. |
• | Egy feladatra adott megoldások közül csak egy (a magasabb pontszámú) értékelhető. |
• | A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. |
• | A vizsgadolgozat I. részében kitűzött feladatok esetében elég a helyes választ megadni, amennyiben a feladat szövege nem rendelkezik másképp. A javítás során azt az eredményt, illetve megoldást kell figyelembe venni, amit a vizsgázó az erre a célra szolgáló keretbe írt. Ha ott esetleges hibás megoldás áthúzása miatt nem maradt hely a vizsgázó által helyesnek ítélt válasz számára, akkor figyelembe vehető a kereten kívül szereplő helyes válasz is. |
• | Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. |
• | Ha a pontozási útmutató a feladat ellenőrzéséért pontot ad, akkor az csak abban az esetben adható meg, ha a vizsgázó valamilyen formában írásban rögzíti az ellenőrzés tényét. (Itt minden elvileg helyes módszer elfogadható.) |
• | A középszintű vizsgafeladatsor II/B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, melynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani, csak a többi feladatot. Ha ezen előírások alapján a javító számára nem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a nem értékelendő feladat automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz. |
I. rész 1. feladat. A={1;3;5;7;9}, B={2;3;5;7}. (Az elemek felsorolásáért nem jár pont.) A∩B={3;5;7}. 1 pont A∖B={1;9}. (Jó halmazábra is elfogadható.) 1 pont (Ha nem használja a halmazjelölést, csak felsorol, akkor is jár a pont.)
2. feladat. a) hamis. 1 pont b) hamis. 1 pont
3. feladat. X=2. 1 pont X=6. 1 pont (Ha a helyes számok mellett rossz számjegyek is szerepelnek: 0 pont)
4. feladat. x=4. 2 pont (Levezetés nélkül is jár a 2 pont.)
5. feladat. x2-1x-1=(x+1)⋅(x-1)x-1= (A nevezetes azonosság felírásáért.) 1 pont =x+1. (A jó végeredményért.) 1 pont
6. feladat. Az elnököt 10 tagból 10-féleképpen, a titkárt pedig 9 tagból 9-féleképpen lehet kiválasztani: 10⋅9. 1 pont 90. (Ha csak a végeredményt közli, akkor 1 pont adható.) 1 pont
7. feladat. DE→=a (Ha a helyett BA→ szerepel, az is elfogadható.) 1 pont BK→=a+b. 2 pont
8. feladat. A lehetőségek: fff; ffi; fif; iff; fii̲; ifi̲; iif̲; iii. 1 pont A nyolc közül csak három jó, ezért az esély 38. (Ha csak a jó végeredményt írja fel, akkor is jár a 2 pont.) 2 pont 9. feladat. x2-1=15. x2=16. (Ha az x2=16 egyenletig eljut.) 2 pont x=4. 1 pont x=-4. 1 pont (Ha |x|=4 a végeredmény, azért 3 pont adható.)
10. feladat. a) x≤5. 2 pont (Ha az egyenlőség nem szerepel, akkor 1 pont adható.)
b) x<5. 2 pont (Ha az egyenlőséget is megengedi, akkor 1 pont adható.)
11. feladat. É. T: [1;5]. 2 pont É. K: [-3;2]. 2 pont (Ha valamelyik intervallum pontatlan, akkor arra a részre csak 1 pont jár.)
II./A rész 12. feladat. (Megfelelő rajz (kör; átmérő két végpontja és egy kerületi pont).) 2 pont Derékszögű háromszög. (Thalész-tétel említése szövegben, vagy a derékszög jelölése a rajzon.) 2 pont (2r)2=202+212. (Pitagorasz-tétel felírása. Ha a zárójel hiányzik, de úgy folytatja, mintha lenne, akkor csak 2 pont jár. Ha a zárójel hiányzik, és e szerint is folytatja, akkor az egész feladatra maximum 8 pontot kaphat.) 3 pont 4r2=400+441. 1 pont r2=8414. (Egyenletrendezés.) 2 pont r=210,25. r=14,5. (A sugár jó kiszámolása.) 1 pont Tehát a keresett sugár 14,5 méter. (Szöveges válasz. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az 1 pont.) 1 pont
13. feladat. a) Naponta 152 liter, ennek 30%-a: 152liter⋅0,3=45,6 liter. 1 pont A megtakarítás naponta: 45,6liter⋅0,25=11,4 liter. 1 pont 107 lakosra: 11,4⋅107 liter. (Ha a mértékegységet nem írja ki minden sorban, az is elfogadható.) 2 pont 1 év alatt: 11,4⋅107⋅365liter=4,161⋅1010 liter. 1 pont A megtakarítás: 4,161⋅107m3. 1 pont (A mértékegységnek a végeredményben szerepelnie kell.)
b) 1. megoldás: A megtakarítás %-ban kifejezve: 0,3⋅0,25=0,075, azaz 7,5%. 3 pont
2. megoldás: Az éves összes vízfogyasztás: 152⋅10-3m3⋅107⋅365 = 5,548⋅108 m3. 1 pont A megtakarítás %-ban kifejezve: 4,161⋅107m35,548⋅108m3=0,075, 1 pont azaz 7,5%. 1 pont
c) A lakossági megtakarítás naponta: 11,4⋅107liter=11,4⋅104m3. 1 pont A lakossági megtakarítás értéke: 11,4⋅104m3 ⋅140 Ft/m3 = 15 960 000 Ft naponta. 1 pont Normálalakban: 1,596⋅107 Ft. 1 pont (Ha az a) részben rossz eredményt kap, és ezzel jól számol a b) és a c) részben, akkor ezekre jár a 3, ill. 3 pont.)
14. feladat. a) Az átlag: 3+4+7+x+y5=6,5. 1 pont x+y=18,5. 1 pont A módusz 4, ezért a 4 legalább kétszer előfordul: 1 pont az egyik szám 4; 1 pont a másik pedig 14,5. 1 pont (Bármilyen helyes gondolatmenettel kapott helyes eredményért 5 pont jár.)
b) A medián: 4, mivel a 1 pont 3; 4; 4; 7; 14,5 adatsorban a középső éppen 4. 2 pont
c) σ=(6,5-3)2+2⋅(6,5-4)2+(6,5-7)2+(6,5-14,5)25. 2 pont (Ha nem írja fel a képletet, hanem a számológép segítségével számol, akkor is jár a 2 pont.) Az adathalmaz szórása: 4,22. 2 pont
II./B rész A 15‐17. feladatokból csak kettőt kellett megoldani, és csak kettő értékelhető.
15. feladat. A négyzetes gúla térfogata: Vgúla=T⋅M3=a2⋅M3. Vgúla=533=1253≈41,67. 1 db gúla térfogata 41,67cm3. (A gúla térfogatának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.) 2 pont 100 db-ra elég a nyersanyag, azaz a nyersanyag térfogata: V100=125003≈4166,67. Tehát a nyersanyag térfogata 4166,67cm3. (100 db térfogata. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az 1 pont.) 1 pont
b) A=a2+4⋅a⋅m2. Pitagorasz-tétel alkalmazása: m2=52+2,52. 1 pont m≈5,59. A gúla oldallapjának magassága 5,59 cm. (Az oldallap magasságának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.) 1 pont A1=52+4⋅5⋅5,592=80,9. Egy gúla felszíne: 80,9 cm2. (Egy gúla felszínének kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.) 2 pont 100 gúla felszíne: A100=8090cm2= 1 pont =0,809m2. (100 gúla felszíne m2-ben megadva. A mértékegység megadása szükséges.) 1 pont Költség =1200⋅A100=970,8. Tehát a festés költsége 970,8 Ft. 1 pont
c) A 100 gúla közül 95 hibátlan és 1 pont 5 hibás. 1 pont A kiválasztott 8 között nincs selejtes, tehát ezt a nyolcat a hibátlanok közül kell kiválasztani. 95 hibátlanból 8-at kell kiválasztani úgy, hogy a gúlák sorrendje közömbös, ezért: (958). (Indoklás nélkül is elfogadható a jó eredmény.) 2 pont
d) Ebben az esetben 3 selejtest kell kiválasztani az 5 hibásból: (53); 1 pont és 5 jót pedig a 95 hibátlanból: (955) 1 pont A kedvező lehetőség: (53)⋅(955). 1 pont Az összes lehetőség: (1008). 1 pont A végeredmény: (53)⋅(955)(1008)=3⋅10-3. 1 pont
16. feladat. a) 42x2-26x+75=43. 1 pont Az exponenciális függvény monotonitása miatt: 1 pont 2x2-26x+75=3. 1 pont x1=9. 1 pont x2=4. 1 pont (Ha azt mutatja meg, hogy ezek jó gyökök, de nem mutatja meg, hogy más megoldás nincs, akkor 2 pont adható.)
b) Tehát a számtani sorozatban a1=9 és d=4. 2 pont Sn=a1+an2⋅n=2a1+(n-1)⋅d2⋅n. S5=18+4⋅42⋅5. 1 pont S5=85. 1 pont
c) Sn=a1+an2⋅n=2a1+(n-1)⋅d2⋅n.
3649=18+(n-1)⋅42⋅n. 2 pont 2n2+7n-3649=0. 2 pont n1=71. 1 pont n2=-44,5. 1 pont Ez nem megoldása a feladatnak. 1 pont Tehát az első 41 tag összege 3649. 1 pont
17. feladat. 1. megoldás: x2+y2-2x+4y-20-0. (x-1)2+(y+2)2=25. (A kör egyenletének rendezéséért.) 2 pont K(1;-2). (A középpont meghatározásáért összesen 3 pont adható.) 1 pont a:3x-4y=0, na(3;-4). (Az a egyenes normálvektorának felírásáért.) 1 pont nf(4;3). (Az f egyenes normálvektorának felírásáért.) 1 pont K(1;-2). f:4x+3y=-2. (Az f egyenes egyenletéért összesen 3 pont adható.) 1 pont Az egyenes és a kör metszéspontja adja az érintési pontokat: 4x+3y=-2,x2+y2-2x+4y-20=0.} (Az egyenletrendszer felírásáért.) 1 pont x2-2x-8=0 vagy y2+4y-12=0. (Valamelyik egyismeretlenes egyenletért.) 4 pont x1=-2x2=4. (A gyökök.) 1 pont y1=2y2=-6. (A másik két gyök.) 1 pont E1(-2;2)E2(4;-6). (Az érintési pontok.) 2 pont Az érintők egyenlete: 3x-4y=36, 1 pont 3x-4y=-14. 1 pont
2. megoldás: Az érintők párhuzamosak a megadott egyenessel, ezért paraméteres egyenletük: 3x-4y=c, y=3x-c4. (Az érintő paraméteres egyenletének felírásáért.) 2 pont x2+(3x-c4)2-2x+4⋅3x-c4-20=0. (A kör egyenletébe való behelyettesítéséért.) 1 pont 25x2+(-6c+16)x+c2-16c-320=0. (A paraméteres másodfokú egyenlet rendezett alakjáért.) 3 pont Az egyenesnek és a körnek akkor van egy közös pontja, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla. (A feltétel megfogalmazása szövegben vagy jelöléssel.) 2 pont D=(-6c+16)2-100(c2-16c-320)=0. (A diszkrimináns felírásáért.) 3 pont c2-22c-504=0. (Másodfokú egyenlet rendezett alakjáért.) 2 pont c1=36. 1 pont c2=-14. 1 pont Az érintők egyenlete: 3x-4y=36. 1 pont 3x-4y=-14. 1 pont
|
|