Cím:	Középszintű írásbeli matematika érettségi gyakorló feladatsor
Füzet:	2004/szeptemberi melléklet, 25 - 36. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az OM honlapján (http://www.om.hu) található 2005-ben bevezetésre kerülő kétszintű matematika vizsga mintafeladatai   I. rész   ‐ A feladatok megoldására 45 perc fordítható. ‐ A feladatok megoldásához zsebszámológépet és négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos.   1. Adott két halmaz: $A=\{$egyjegyű pozitív páratlan számok$\}$; $B=\left\{2;3;5;7\right\}$. Sorolja fel az $A\cap B$ és az $A\setminus B$ halmaz elemeit!  (2 pont)   2. Jelölje be, hogy az alábbi egyenlőségek igaz vagy hamis állítások! ($a>0$, $a\ne 1$) $a)$ $a^3\cdot a^4=a^{12}$  (1 pont) $b)$ $a^8:a^2=a^4$.  (1 pont)   3. Adott a következő hétjegyű szám: $135947X$. Milyen számjegyeket írhatunk az $X$ helyére, hogy az így kapott hétjegyű szám 4-gyel osztható legyen?  (2 pont)   4. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^x=81\text{(<span style="font-style: italic;">2 pont</span>)}}\end{array}$   5. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést! Írja le a megoldás egyes lépéseit! $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}\mathrm{,}x\in \text{R}\setminus \left\{1\right\}\mathrm{.}\text{(<span style="font-style: italic;">2 pont</span>)}}\end{array}$   6. Hányféleképpen lehet egy 10 fős társaságból egy elnököt és egy titkárt választani? Megoldását indokolja!  (2 pont)     7. Egy szabályos hatszög csúcsai: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, középpontja $K$. Legyen a $\overrightarrow{BA}=\text{a}$ és $\overrightarrow{BC}=\text{b}$. Fejezze ki a megadott vektorok segítségével a $\overrightarrow{DE}$ és a $\overrightarrow{BK}$ vektorokat!  (3 pont)     8. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Mekkora az esélye, hogy egyszer fejet és kétszer írást kapjunk? Megoldását indokolja!  (3 pont)   9. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! Megoldását indokolja! $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{3}\left(x^2-1\right)=10.\text{(<span style="font-style: italic;">4 pont</span>)}}\end{array}$   10. Milyen valós $x$-ekre értelmezhetők a következő kifejezések? $a)$ $\sqrt[]{5-x}$  (2 pont) $b)$ $\text{lg}\left(5-x\right)$  (2 pont)   11. Mi az alábbi, grafikonjával megadott függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?  (4 pont)       II. rész A   ‐ A feladatok megoldására 135 perc fordítható. ‐ A feladatok megoldásához zsebszámológépet és négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos.   12. Kör alakú amfiteátrum küzdőterének két átellenes pontjában áll egy-egy gladiátor, az uralkodó a pálya szélén ül. A gladiátorok egyenes vonalban odafutnak az uralkodóhoz. Az egyik 20 métert, a másik eggyel többet tesz meg, amíg odaér. Mekkora az amfiteátrum sugara? Készítsen ábrát is a megoldáshoz!  (12 pont)   13. Magyarországon egy átlagos család egy főre eső napi vízfogyasztása 152 liter. Ez a fogyasztás több részből tevődik össze: főzés, mosogatás, WC-használat, mosakodás, mosás, egyebek. A felsoroltak vízfogyasztási aránya rendre 4%, 4%, 25%, 26%, 30%, 11%. A vízdíj $140\text{Ft/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. $a)$ Ha minden egyes mosásnál egy takarékosabb mosógéppel 25%-kal kevesebbet használunk, akkor ‐ a lakosság létszámát 10 millióra kerekítve ‐ hány $\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ vizet takarít meg az ország lakossága egy év (365 nap) alatt?  (6 pont) $b)$ Ez hány százaléka az összes vízfogyasztásnak?  (3 pont) $c)$ Mennyi naponta a lakossági megtakarítás értéke összesen? Az eredményt adja meg normálalakban is!  (3 pont)   14. Egy adatsor öt számból áll, amelyből kettő elveszett, a maradék három: 3; 4; 7. Tudjuk, hogy a módusz 4, és az adatok átlaga (számtani közepe) 6,5. $a)$ Mi a számsor hiányzó két adata? Válaszát indokolja!  (5 pont) $b)$ Mennyi az adatok mediánja? Válaszát indokolja!  (3 pont) $c)$ Számolja ki az adatok szórását!  (4 pont)   II. rész B   A 15.‐17. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania.   15. Reklámcélokra fémből készült tömör dísztárgyakat gyártanak. Ha olyan négyzet alapú szabályos gúla alakúakat öntenek, ahol a gúla alapéle is, magassága is 5 cm, akkor 100 darabra elég a nyersanyag. $a)$ Mekkora a nyersanyag térfogata?  (3 pont) $b)$ Mennyibe kerülne a 100 gúla befestése, ha $1\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ felület festési költsége 1200 Ft?  (7 pont) Az ellenőrzés során kiderült, hogy az elkészült dísztárgyak 5%-a selejtes. A 100 gúlát tartalmazó dobozból véletlenszerűen nyolcat választunk ki. $c)$ Hányféleképpen lehet kiválasztani nyolc hibátlan kockát?  (2 pont) $d)$ Mennyi az esélye, hogy a nyolc darab kiválasztott gúla közül éppen 3 darab lesz selejtes?  (5 pont)   16. $a)$ Mutassa meg, hogy a $4^{2x^2-26x+75}=64$ egyenletnek a valós számok körében csak a 4 és a 9 a megoldásai!  (5 pont) $b)$ Egy számtani sorozat első tagja a $4^{2x^2-26x+75}=64$ egyenlet nagyobbik gyöke, a számtani sorozat különbsége pedig az egyenlet kisebbik gyöke. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!  (4 pont) $c)$ Ha e sorozat első $n$ tagjának összege 3649, akkor mennyi az $n$ értéke?  (8 pont)   17. Írja fel annak a két egyenesnek az egyenletét, amelyek párhuzamosak a $3x-4y=0$ egyenletű egyenessel, és érintik az $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ egyenletű kört!  (17 pont)   JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ   Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével:   Formai előírások: $•$  A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. $•$  A feladatok mellett található téglalapok közül az elsőben a feladatra adható pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. $•$  Kifogástalan megoldás esetén elég a megfelelő maximális pontszám beírása a téglalapokba. $•$  Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra.   Tartalmi kérések: $•$  Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit és ennek alapján pontozzon. $•$  A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. $•$  Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. $•$  Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. $•$  Elvi hiba esetén, egy gondolati egységen belül a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban az elhibázott részt egy újabb részkérdés követi, és a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot. $•$  Egy feladatra adott megoldások közül csak egy (a magasabb pontszámú) értékelhető. $•$  A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. $•$  A vizsgadolgozat I. részében kitűzött feladatok esetében elég a helyes választ megadni, amennyiben a feladat szövege nem rendelkezik másképp. A javítás során azt az eredményt, illetve megoldást kell figyelembe venni, amit a vizsgázó az erre a célra szolgáló keretbe írt. Ha ott esetleges hibás megoldás áthúzása miatt nem maradt hely a vizsgázó által helyesnek ítélt válasz számára, akkor figyelembe vehető a kereten kívül szereplő helyes válasz is. $•$  Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. $•$  Ha a pontozási útmutató a feladat ellenőrzéséért pontot ad, akkor az csak abban az esetben adható meg, ha a vizsgázó valamilyen formában írásban rögzíti az ellenőrzés tényét. (Itt minden elvileg helyes módszer elfogadható.) $•$  A középszintű vizsgafeladatsor II/B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, melynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani, csak a többi feladatot. Ha ezen előírások alapján a javító számára nem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a nem értékelendő feladat automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz.   I. rész   1. feladat. $A=\left\{1;3;5;7;9\right\}$, $B=\left\{2;3;5;7\right\}$. (Az elemek felsorolásáért nem jár pont.) $A\cap B=\left\{3;5;7\right\}$.  1 pont $A\setminus B=\left\{1;9\right\}$. (Jó halmazábra is elfogadható.)  1 pont (Ha nem használja a halmazjelölést, csak felsorol, akkor is jár a pont.) Összesen: 2 pont   2. feladat. $a)$ hamis.  1 pont $b)$ hamis.  1 pont Összesen: 2 pont   3. feladat. $X=2$.  1 pont $X=6$.  1 pont (Ha a helyes számok mellett rossz számjegyek is szerepelnek: 0 pont) Összesen: 2 pont   4. feladat. $x=4$.  2 pont (Levezetés nélkül is jár a 2 pont.) Összesen: 2 pont   5. feladat. $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{\left(x+1\right)\cdot \left(x-1\right)}{x-1}=$ (A nevezetes azonosság felírásáért.)  1 pont $=x+1$. (A jó végeredményért.)  1 pont Összesen: 2 pont   6. feladat. Az elnököt 10 tagból 10-féleképpen, a titkárt pedig 9 tagból 9-féleképpen lehet kiválasztani: $10\cdot 9$.  1 pont 90. (Ha csak a végeredményt közli, akkor 1 pont adható.)  1 pont Összesen: 2 pont   7. feladat. $\overrightarrow{DE}=\text{a}$ (Ha $\text{a}$ helyett $\overrightarrow{BA}$ szerepel, az is elfogadható.)  1 pont $\overrightarrow{BK}=\text{a}+\text{b}$.  2 pont Összesen: 3 pont   8. feladat. A lehetőségek: fff; ffi; fif; iff; $fii̲$; $ifi̲$; $iif̲$; iii.  1 pont A nyolc közül csak három jó, ezért az esély $\frac{3}{8}$. (Ha csak a jó végeredményt írja fel, akkor is jár a 2 pont.)  2 pont Összesen: 3 pont   9. feladat. $x^2-1=15$. $x^2=16$. (Ha az $x^2=16$ egyenletig eljut.)  2 pont $x=4$.  1 pont $x=-4$.  1 pont (Ha $|x|=4$ a végeredmény, azért 3 pont adható.) Összesen: 4 pont     10. feladat. $a)$ $x\le 5$.  2 pont (Ha az egyenlőség nem szerepel, akkor 1 pont adható.) Összesen: 2 pont $b)$ $x<5$.  2 pont (Ha az egyenlőséget is megengedi, akkor 1 pont adható.) Összesen: 2 pont   11. feladat. É. T: $\left[1;5\right]$.  2 pont É. K: $\left[-3;2\right]$.  2 pont (Ha valamelyik intervallum pontatlan, akkor arra a részre csak 1 pont jár.) Összesen: 4 pont   II./A rész   12. feladat.     (Megfelelő rajz (kör; átmérő két végpontja és egy kerületi pont).)  2 pont Derékszögű háromszög. (Thalész-tétel említése szövegben, vagy a derékszög jelölése a rajzon.)  2 pont ${\left(2r\right)}^2={20}^2+{21}^2$. (Pitagorasz-tétel felírása. Ha a zárójel hiányzik, de úgy folytatja, mintha lenne, akkor csak 2 pont jár. Ha a zárójel hiányzik, és e szerint is folytatja, akkor az egész feladatra maximum 8 pontot kaphat.)  3 pont $4r^2=400+441$.  1 pont $r^2=\frac{841}{4}$. (Egyenletrendezés.)  2 pont $r=\sqrt[]{210\mathrm{,}25}$. $r=14\mathrm{,}5$. (A sugár jó kiszámolása.)  1 pont Tehát a keresett sugár 14,5 méter. (Szöveges válasz. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az 1 pont.)  1 pont Összesen: 12 pont   13. feladat. $a)$ Naponta 152 liter, ennek 30%-a: $152\text{liter}\cdot 0\mathrm{,}3=45\mathrm{,}6$ liter.  1 pont A megtakarítás naponta: $45\mathrm{,}6\text{liter}\cdot 0\mathrm{,}25=11\mathrm{,}4$ liter.  1 pont ${10}^7$ lakosra: $11\mathrm{,}4\cdot {10}^7$ liter. (Ha a mértékegységet nem írja ki minden sorban, az is elfogadható.)  2 pont 1 év alatt: $11\mathrm{,}4\cdot {10}^7\cdot 365\text{liter}=4\mathrm{,}161\cdot {10}^{10}$ liter.  1 pont A megtakarítás: $4\mathrm{,}161\cdot {10}^7\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.  1 pont (A mértékegységnek a végeredményben szerepelnie kell.) Összesen: 6 pont $b)$ 1. megoldás: A megtakarítás %-ban kifejezve: $0\mathrm{,}3\cdot 0\mathrm{,}25=0\mathrm{,}075$, azaz 7,5%.  3 pont Összesen: 3 pont 2. megoldás: Az éves összes vízfogyasztás: $152\cdot {10}^{-3}\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow></msup></mrow></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math>365 = 5,548<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></msup></mrow></math> }\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.  1 pont A megtakarítás %-ban kifejezve: $\frac{4\mathrm{,}161\cdot {10}^7\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}}{5\mathrm{,}548\cdot {10}^8\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}}=0\mathrm{,}075$,  1 pont azaz 7,5%.  1 pont Összesen: 3 pont $c)$ A lakossági megtakarítás naponta: $11\mathrm{,}4\cdot {10}^7\text{liter}=11\mathrm{,}4\cdot {10}^4\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.  1 pont A lakossági megtakarítás értéke: $11\mathrm{,}4\cdot {10}^4\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math>140 Ft/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math> = 15 960 000}$ Ft naponta.  1 pont Normálalakban: $1\mathrm{,}596\cdot {10}^7$ Ft.  1 pont (Ha az $a)$ részben rossz eredményt kap, és ezzel jól számol a $b)$ és a $c)$ részben, akkor ezekre jár a 3, ill. 3 pont.) Összesen: 3 pont     14. feladat. $a)$ Az átlag: $\frac{3+4+7+x+y}{5}=6\mathrm{,}5$.  1 pont $x+y=18\mathrm{,}5$.  1 pont A módusz 4, ezért a 4 legalább kétszer előfordul:  1 pont az egyik szám 4;  1 pont a másik pedig 14,5.  1 pont (Bármilyen helyes gondolatmenettel kapott helyes eredményért 5 pont jár.) Összesen: 5 pont $b)$ A medián: 4, mivel a  1 pont 3; 4; 4; 7; 14,5 adatsorban a középső éppen 4.  2 pont Összesen: 3 pont $c)$ $\sigma =\sqrt[]{\frac{{\left(6\mathrm{,}5-3\right)}^2+2\cdot {\left(6\mathrm{,}5-4\right)}^2+{\left(6\mathrm{,}5-7\right)}^2+{\left(6\mathrm{,}5-14\mathrm{,}5\right)}^2}{5}}$.  2 pont (Ha nem írja fel a képletet, hanem a számológép segítségével számol, akkor is jár a 2 pont.) Az adathalmaz szórása: 4,22.  2 pont Összesen: 4 pont   II./B rész   A 15‐17. feladatokból csak kettőt kellett megoldani, és csak kettő értékelhető.   15. feladat.     A négyzetes gúla térfogata: $V_{\text{gúla}}=\frac{T\cdot M}{3}=\frac{a^2\cdot M}{3}$. $V_{\text{gúla}}=\frac{5^3}{3}=\frac{125}{3}\approx 41\mathrm{,}67$. 1 db gúla térfogata $41\mathrm{,}67\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. (A gúla térfogatának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.)  2 pont 100 db-ra elég a nyersanyag, azaz a nyersanyag térfogata: $V_{100}=\frac{12500}{3}\approx 4166\mathrm{,}67$. Tehát a nyersanyag térfogata $4166\mathrm{,}67\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. (100 db térfogata. Ha nem ír szöveges választ, de helyes eredményt ad meg mértékegységgel együtt, akkor is jár az 1 pont.)  1 pont Összesen: 3 pont $b)$ $A=a^2+4\cdot \frac{a\cdot m}{2}$. Pitagorasz-tétel alkalmazása: $m^2=5^2+2\mathrm{,}{5}^2$.  1 pont $m\approx 5\mathrm{,}59$. A gúla oldallapjának magassága 5,59 cm. (Az oldallap magasságának kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.)  1 pont $A_1=5^2+4\cdot \frac{5\cdot 5\mathrm{,}59}{2}=80\mathrm{,}9$. Egy gúla felszíne: 80,9 $\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. (Egy gúla felszínének kiszámítása. A mértékegység és a szöveges válasz itt nem feltétlenül szükséges.)  2 pont 100 gúla felszíne: $A_{100}=8090\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>=}$  1 pont $=0\mathrm{,}809\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. (100 gúla felszíne $\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$-ben megadva. A mértékegység megadása szükséges.)  1 pont Költség $=1200\cdot A_{100}=970\mathrm{,}8$. Tehát a festés költsége 970,8 Ft.  1 pont Összesen: 7 pont $c)$ A 100 gúla közül 95 hibátlan és  1 pont 5 hibás.  1 pont A kiválasztott 8 között nincs selejtes, tehát ezt a nyolcat a hibátlanok közül kell kiválasztani. 95 hibátlanból 8-at kell kiválasztani úgy, hogy a gúlák sorrendje közömbös, ezért: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{95}{8}\right)$. (Indoklás nélkül is elfogadható a jó eredmény.)  2 pont Összesen: 4 pont $d)$ Ebben az esetben 3 selejtest kell kiválasztani az 5 hibásból: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)$;  1 pont és 5 jót pedig a 95 hibátlanból: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{95}{5}\right)$  1 pont A kedvező lehetőség: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{95}{5}\right)$.  1 pont Az összes lehetőség: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{8}\right)$.  1 pont A végeredmény: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{95}{5}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{8}\right)}=3\cdot {10}^{-3}$.  1 pont Összesen: 5 pont   16. feladat. $a)$ $4^{2x^2-26x+75}=4^3$.  1 pont Az exponenciális függvény monotonitása miatt:  1 pont $2x^2-26x+75=3$.  1 pont $x_1=9$.  1 pont $x_2=4$.  1 pont (Ha azt mutatja meg, hogy ezek jó gyökök, de nem mutatja meg, hogy más megoldás nincs, akkor 2 pont adható.) Összesen: 5 pont $b)$ Tehát a számtani sorozatban $a_1=9$ és $d=4$.  2 pont $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)\cdot d}{2}\cdot n$. $S_5=\frac{18+4\cdot 4}{2}\cdot 5$.  1 pont $S_5=85$.  1 pont Összesen: 4 pont $c)$ $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)\cdot d}{2}\cdot n$. $3649=\frac{18+\left(n-1\right)\cdot 4}{2}\cdot n$.  2 pont $2n^2+7n-3649=0$.  2 pont $n_1=71$.  1 pont $n_2=-44\mathrm{,}5$.  1 pont Ez nem megoldása a feladatnak.  1 pont Tehát az első 41 tag összege 3649.  1 pont Összesen: 8 pont   17. feladat.     1. megoldás: $x^2+y^2-2x+4y-20-0$. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=25$. (A kör egyenletének rendezéséért.)  2 pont $K\left(1;-2\right)$. (A középpont meghatározásáért összesen 3 pont adható.)  1 pont $\text{a}:3x-4y=0$, ${\text{n}}_a\left(3;-4\right)$. (Az $a$ egyenes normálvektorának felírásáért.)  1 pont ${\text{n}}_f\left(4;3\right)$. (Az $f$ egyenes normálvektorának felírásáért.)  1 pont $K\left(1;-2\right)$. $f:4x+3y=-2$. (Az f egyenes egyenletéért összesen 3 pont adható.)  1 pont Az egyenes és a kör metszéspontja adja az érintési pontokat: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 4x+3y}& {\displaystyle =-\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2+y^2-2x+4y-20}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}\}$ (Az egyenletrendszer felírásáért.)  1 pont $x^2-2x-8=0$ vagy $y^2+4y-12=0$. (Valamelyik egyismeretlenes egyenletért.)  4 pont $x_1=-2x_2=4$. (A gyökök.)  1 pont $y_1=2y_2=-6$. (A másik két gyök.)  1 pont $E_1\left(-2;2\right)E_2\left(4;-6\right)$. (Az érintési pontok.)  2 pont Az érintők egyenlete: $3x-4y=36$,  1 pont $3x-4y=-14$.  1 pont Összesen: 17 pont 2. megoldás: Az érintők párhuzamosak a megadott egyenessel, ezért paraméteres egyenletük: $3x-4y=c$, $y=\frac{3x-c}{4}$. (Az érintő paraméteres egyenletének felírásáért.)  2 pont $x^2+{\left(\frac{3x-c}{4}\right)}^2-2x+4\cdot \frac{3x-c}{4}-20=0$. (A kör egyenletébe való behelyettesítéséért.)  1 pont $25x^2+\left(-6c+16\right)x+c^2-16c-320=0$. (A paraméteres másodfokú egyenlet rendezett alakjáért.)  3 pont Az egyenesnek és a körnek akkor van egy közös pontja, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla. (A feltétel megfogalmazása szövegben vagy jelöléssel.)  2 pont $D={\left(-6c+16\right)}^2-100\left(c^2-16c-320\right)=0$. (A diszkrimináns felírásáért.)  3 pont $c^2-22c-504=0$. (Másodfokú egyenlet rendezett alakjáért.)  2 pont $c_1=36$.  1 pont $c_2=-14$.  1 pont Az érintők egyenlete: $3x-4y=36$.  1 pont $3x-4y=-14$.  1 pont Összesen: 17 pont