Cím: Megoldásvázlatok a 2004/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Szászné Simon Judit 
Füzet: 2004/november, 463 - 467. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Határozzuk meg azon négyzet csúcspontjainak a koordinátáit, amelynek három csúcsa illeszkedik az x2-6x-5y+4=0 egyenletű parabolára, és átlói párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel.
a) Mekkora a négyzetbe írt kör területe?
b) Hány rácspontja van a zárt körlapnak?  (11 pont)

 
Megoldás. Az x2-6x-5y+4=0 parabola egyenletét alakítsuk a következőképpen:
(x-3)25=y+1.
Csúcspontja leolvasható: C(3;-1). A négyzet oldalegyenese 45-os szöget zár be az x tengellyel, és átmegy C-n, ezért egyenlete y=x-4. Második metszéspontja a parabolával D(8;4), tehát B(-2;4) és A(3;9). A négyzet átlója 10 egység, így oldala 52, ami a keresett kör átmérője. A négyzetbe írt kör területe T=25π2. A kör egyenlete (x-3)2+(y-4)2=252.
 
 

Az y=4 és az x=3 egyeneseken a körben 13 rácspont van, egy negyedkörben még 6 újabb rácspont, tehát összesen 37 rácspont van a zárt körlapon. (Tulajdonképpen azt kell leszámolni, hányféleképpen adhat két egész szám négyzetösszege 12,5-nél kisebbet.)
 
2. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
1-x2-x4=4sin2x.(12 pont)

 
Megoldás. Mivel 0sin2x1, azért a jobb oldal értékkészlete 14sin2x4. A bal oldal értéke legfeljebb 1 lehet, és az is csak akkor, ha x=0. Ez az egyetlen megoldása az egyenletnek.
 
3. Az alábbi táblázat a fogyasztói árindex alakulását mutatja néhány országban 19951999 között:
Országváltozás az előző évhez képest, %19951996199719981999Ausztria2,31,51,310,6Franciaország1,721,20,80,6Lengyelország27,819,914,811,67,3Magyarország28,223,618,314,310Nagy-Britannia3,42,43,23,41,6Németország1,81,41,910,6

a) Értelmezzük, mit jelent Ausztriánál az utolsó két oszlopban található 1 és 0,6 szám.
b) Ha valaki 1994-ben 34000 forintot az ágynemű közé rejtett, hány forintnak felel meg a vásárlóereje 1999-ben?
c) Nagymami 200000 forintot akar diplomaajándékként az unokájának adni 1999-ben, amikor végez. Mennyi pénzt tett a sikeres felvételi vizsga hírére 1994-ben abba a bankba, amelyik ‐ mint utóbb kiderült ‐ pontosan a fogyasztói árindexszel megegyező kamatot adott 1994 és 1999 között?  
(14 pont)

 
Megoldás. a) Azt jelenti, hogy a fogyasztói árak átlagosan az előző évinek 1,01-; illetve 1,006-szeresei lettek.
b) Az 1994-es forint 1995-ben már csak az eredeti összeg 11+28,2100-szorosát érte, és hasonló gondolatmenettel kiszámítható, hogy az 1994-ben elrejtett 34 000 Ft vásárlóértéke 1999-ben
3400011+28,210011+23,610011+18,310011+14,310011+10100=14426
forint 1994-es vásárlóértékének felelt meg.
c) Nagymami ezresre kerekítve 85 000 forintot tett 1994-ben a bankba, számítás az előző módon.
 
4. Az ABC szabályos háromszög alapú, D csúcsú gúla alapélei 18 cm, oldalélei 66cm hosszúak. Fektessünk az AD éllel párhuzamos síkot az AB és AC élek felezőpontjain át.
a) Számítsuk ki a síkmetszet területét.
b) Mekkora szöget zár be a metsző sík az alapsíkkal?  
(14 pont)
 
Megoldás. Az AD éllel párhuzamos és az AB és AC élek felezőpontjain átmenő sík az ABD és ACD síkokat az AD-vel párhuzamos középvonalakban metszi. A metszetnégyszög paralelogramma, melynek átlói a szimmetria miatt egyenlők, ezért ez téglalap.
 
 

a) A téglalap területe t=936=276.
b) A síkmetszet párhuzamos az AD éllel, ezért az alapsíkkal bezárt szögük egyenlő. Mivel D vetülete az ABC szabályos háromszög súlypontja, azért
cosα=6366,α=45.

 

II. rész
 

5. Egy 16 fős csoportban a kémia átlag 3,81 volt (két tizedesre kerekítve). Tudjuk, hogy senki sem bukott meg.
a) Legfeljebb hányan kaphattak kettest?
b) Biztos-e, hogy volt valakinek ötöse?
c) Hányféleképpen lehetett pontosan 11 darab négyes?
d) Igaz-e, hogy ha a módusz 4, akkor a medián is 4?  
(16 pont)

 
Megoldás. Az osztályzatok összegére (x) teljesül, hogy 3,80516x<3,81516. Egyetlen egész esik a kívánt intervallumba, a 61.
a) Legfeljebb hatan, mert hét kettesnél a maradék 9 osztályzat összege 47 kellene legyen, ami lehetetlen. Ha hat kettes, egy négyes és kilenc ötös volt, akkor a feladat minden feltétele teljesül.
b) Nem. Lehetett például 3 db hármas és 13 db négyes.
c) A 11 négyes mellett nem lehetett a maradék 5 dolgozat mindegyike hármas vagy annál gyengébb, mert az legfeljebb 15 pont a szükséges 17 helyett, ezért biztosan volt ötös. Ha egy darab ötös volt, akkor 4 darab hármas kellett legyen, míg két ötös esetén egy hármas és két kettes osztályzattal jön ki a 17 pont.
d) Igaz. Ha a módusz 4, akkor abból legalább öt darab van, különben minden osztályzatból 4 db lenne, de annak az átlaga 3,5. Ha a medián nem 4, akkor a nagyság szerinti nyolcadik‐kilencedik helyen csak hármas és négyes vagy négyes és ötös állhat. Ez utóbbi eset nem lehet, hiszen akkor az utolsó 8 hely mindegyikén ötös áll, de akkor ez a módusz; az első eset pedig azért lehetetlen, mert akkor az utolsó 8 szám összege legfeljebb 54+35=35, így az első 8 osztályzat összege legalább 26 kellene legyen, ami még 83-nál is több.
 
6. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara, körül írt körének sugara és a kerülete egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a két hegyesszög tangensének összege 4.  
(16 pont)

 
Megoldás. Legyen a derékszögű háromszög beírt körének sugara r, körül írt körének sugara R, befogói a és b, átfogója c. Mivel külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők, r=a+b-c2, és R=c2 a Thalész-tétel miatt. Felhasználjuk a mértani sorozat tulajdonságát és a Pitagorasz-tételt:
(c2)2=(a+b-c2)(a+b+c),c2=a2+b2.
Rendezve az a2-4ab+b2=0 egyenlethez jutunk. Osszunk b2-tel. Ekkor tgα=ab-re másodfokú egyenletet kapunk, amelynek két gyöke tgα=2±3. Ez a két szám egymás reciproka, ezért az egyik az egyik hegyesszögnek, másik a másik hegyesszögnek a tangensét adja, és a kettő összege valóban 4.
 
7. Egy víztorony (P) távolságát kell az 1:250000 arányú térkép segítségével az A falutól meghatározni. Ehhez két falu (B és C) A-tól való távolságát ismerjük a térképen: AB=17,2cm, AC=20,0cm. Lemértük továbbá, hogy
APB=83,APC=130ésBAC=65.

Mekkora az AP távolság a valóságban?  
(16 pont)

 
Megoldás. Az adatok 3 értékes jegyet tartalmaznak. Jelöljük a PAB szöget φ-vel. Ennek segítségével kifejezhetők az ABPC konkáv négyszög szögei. Felírva két szinusz-tételt az ABP és ACP háromszögekre, majd a két egyenletet egymással elosztva egy trigonometrikus egyenletet kapunk φ-re. Ennek csak a hegyesszögű megoldása értelmes a példában. Ezután AP szakasz kiszámolható. AP=13,46 cm. Figyelembe kell azonban venni a térkép méretarányát, így a valóságban 33,65 km a távolság.
 
 

 
8. Határozzuk meg azt a harmadfokú függvényt, amelyik a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
a) Belülről érinti az x2+y=4 görbét az x=0 pontban.
b) A két görbe metszi egymást az x=2 pontban.
c) A két görbe közé zárt terület a [0;2] intervallumban 43.
Írjuk le a harmadfokú függvény menetét.  
(16 pont)

 
Megoldás. A harmadfokú függvényt keressük xax3+bx2+cx+d alakban:
Érinti az x2+y=4 görbét az x=0 pontban, ez két dolgot jelent:
‐ Illeszkedik rá a (0;4) pont, tehát d=4 és
‐ A (0;4) pontban közös a két görbe érintője, tehát a keresett függvény deriváltja a nulla helyen nulla, ahonnan c=0.
A két görbe metszi egymást az x=2 pontban, ezért 8a+4b+4=0.
A két görbe közé zárt terület a [0;2] intervallumban 43. Mivel a harmadfokú görbe belülről érinti a másodfokút, ezt a területet az alábbi integrál számítja ki:
02(-x2+4)dx-02(ax3+bx2+4)dx=43,
ahonnan 3a+2b=-3.
 
 

A keresett függvény tehát
xx3-3x2+4=(x+1)(x-2)2.
A függvény menete leolvasható az ábráról.
 
9. Egy 9 tagú társaság felszáll a három kocsiból álló HÉV szerelvényre, de a nagy tolongásban a társaság minden tagja csak azt nézi, hogy feljusson valamelyik kocsira, nem törődik azzal, hogy a társai melyik kocsiba szálltak.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom kocsiba a társaság 33 tagja szállt?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy a három kocsi közül legalább az egyikbe nem szállt fel senki a társaság tagjai közül?
c) Mennyi a valószínűsége, hogy a három kocsi közül legalább az egyikbe legfeljebb egy ember szállt fel a társaságból?  
(16 pont)

 
Megoldás. Az, hogy valaki az első, második, harmadik kocsiba szállt, felfogható úgy, hogy kiválasztotta az 1, 2, 3 elemek valamelyikét. Az összes esetek száma ezért 39.
a) Annak a valószínűsége, hogy mindhárom kocsiba a társaság 3‐3 tagja szállt, olyan sorozat valószínűségének felel meg, amelyben mindhárom elem 3-szor szerepel:
p=9!3!3390,085.

b) Ez a valószínűség úgy tekinthető, hogy a sorozat minden eleme csak előre meghatározott kettő lehet. Vigyázni kell azonban arra, hogy ne számoljuk többször azokat az eseteket, amikor mindenki ugyanarra a kocsira szállt.
p=(32)29-339=0,07788.

c) Ha a három kocsi közül legalább az egyikbe legfeljebb egy ember szállt fel, akkor azok a rossz esetek, amikor minden kocsiba legalább ketten szálltak, vagyis ha az emberek eloszlása 2‐2‐5, vagy 2‐3‐4, vagy 3‐3‐3. A keresett valószínűség ezért
p=1-39!2!2!5!+3!9!2!3!4!+9!3!339=0,4153.