A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Határozzuk meg azon négyzet csúcspontjainak a koordinátáit, amelynek három csúcsa illeszkedik az egyenletű parabolára, és átlói párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel. Mekkora a négyzetbe írt kör területe? Hány rácspontja van a zárt körlapnak? (11 pont)
Megoldás. Az parabola egyenletét alakítsuk a következőképpen: Csúcspontja leolvasható: . A négyzet oldalegyenese -os szöget zár be az tengellyel, és átmegy -n, ezért egyenlete . Második metszéspontja a parabolával , tehát és . A négyzet átlója 10 egység, így oldala , ami a keresett kör átmérője. A négyzetbe írt kör területe . A kör egyenlete .
Az és az egyeneseken a körben 13 rácspont van, egy negyedkörben még 6 újabb rácspont, tehát összesen 37 rácspont van a zárt körlapon. (Tulajdonképpen azt kell leszámolni, hányféleképpen adhat két egész szám négyzetösszege 12,5-nél kisebbet.)
2. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
Megoldás. Mivel , azért a jobb oldal értékkészlete . A bal oldal értéke legfeljebb 1 lehet, és az is csak akkor, ha . Ez az egyetlen megoldása az egyenletnek.
3. Az alábbi táblázat a fogyasztói árindex alakulását mutatja néhány országban ‐ között: | |
Értelmezzük, mit jelent Ausztriánál az utolsó két oszlopban található és szám. Ha valaki -ben forintot az ágynemű közé rejtett, hány forintnak felel meg a vásárlóereje -ben? Nagymami forintot akar diplomaajándékként az unokájának adni -ben, amikor végez. Mennyi pénzt tett a sikeres felvételi vizsga hírére -ben abba a bankba, amelyik ‐ mint utóbb kiderült ‐ pontosan a fogyasztói árindexszel megegyező kamatot adott és között? (14 pont)
Megoldás. Azt jelenti, hogy a fogyasztói árak átlagosan az előző évinek 1,01-; illetve 1,006-szeresei lettek. Az 1994-es forint 1995-ben már csak az eredeti összeg -szorosát érte, és hasonló gondolatmenettel kiszámítható, hogy az 1994-ben elrejtett 34 000 Ft vásárlóértéke 1999-ben | | forint 1994-es vásárlóértékének felelt meg. Nagymami ezresre kerekítve 85 000 forintot tett 1994-ben a bankba, számítás az előző módon.
4. Az szabályos háromszög alapú, csúcsú gúla alapélei , oldalélei hosszúak. Fektessünk az éllel párhuzamos síkot az és élek felezőpontjain át. Számítsuk ki a síkmetszet területét. Mekkora szöget zár be a metsző sík az alapsíkkal? (14 pont)
Megoldás. Az éllel párhuzamos és az és élek felezőpontjain átmenő sík az és síkokat az -vel párhuzamos középvonalakban metszi. A metszetnégyszög paralelogramma, melynek átlói a szimmetria miatt egyenlők, ezért ez téglalap.
A téglalap területe . A síkmetszet párhuzamos az éllel, ezért az alapsíkkal bezárt szögük egyenlő. Mivel vetülete az szabályos háromszög súlypontja, azért
II. rész 5. Egy fős csoportban a kémia átlag volt (két tizedesre kerekítve). Tudjuk, hogy senki sem bukott meg. Legfeljebb hányan kaphattak kettest? Biztos-e, hogy volt valakinek ötöse? Hányféleképpen lehetett pontosan darab négyes? Igaz-e, hogy ha a módusz , akkor a medián is ? (16 pont)
Megoldás. Az osztályzatok összegére teljesül, hogy . Egyetlen egész esik a kívánt intervallumba, a 61. Legfeljebb hatan, mert hét kettesnél a maradék 9 osztályzat összege 47 kellene legyen, ami lehetetlen. Ha hat kettes, egy négyes és kilenc ötös volt, akkor a feladat minden feltétele teljesül. Nem. Lehetett például 3 db hármas és 13 db négyes. A 11 négyes mellett nem lehetett a maradék 5 dolgozat mindegyike hármas vagy annál gyengébb, mert az legfeljebb 15 pont a szükséges 17 helyett, ezért biztosan volt ötös. Ha egy darab ötös volt, akkor 4 darab hármas kellett legyen, míg két ötös esetén egy hármas és két kettes osztályzattal jön ki a 17 pont. Igaz. Ha a módusz 4, akkor abból legalább öt darab van, különben minden osztályzatból 4 db lenne, de annak az átlaga 3,5. Ha a medián nem 4, akkor a nagyság szerinti nyolcadik‐kilencedik helyen csak hármas és négyes vagy négyes és ötös állhat. Ez utóbbi eset nem lehet, hiszen akkor az utolsó 8 hely mindegyikén ötös áll, de akkor ez a módusz; az első eset pedig azért lehetetlen, mert akkor az utolsó 8 szám összege legfeljebb , így az első 8 osztályzat összege legalább 26 kellene legyen, ami még -nál is több.
6. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara, körül írt körének sugara és a kerülete egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a két hegyesszög tangensének összege . (16 pont)
Megoldás. Legyen a derékszögű háromszög beírt körének sugara , körül írt körének sugara , befogói és , átfogója . Mivel külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők, , és a Thalész-tétel miatt. Felhasználjuk a mértani sorozat tulajdonságát és a Pitagorasz-tételt: | | Rendezve az egyenlethez jutunk. Osszunk -tel. Ekkor -re másodfokú egyenletet kapunk, amelynek két gyöke . Ez a két szám egymás reciproka, ezért az egyik az egyik hegyesszögnek, másik a másik hegyesszögnek a tangensét adja, és a kettő összege valóban 4.
7. Egy víztorony távolságát kell az arányú térkép segítségével az falutól meghatározni. Ehhez két falu és -tól való távolságát ismerjük a térképen: , . Lemértük továbbá, hogy | |
Mekkora az távolság a valóságban? (16 pont)
Megoldás. Az adatok 3 értékes jegyet tartalmaznak. Jelöljük a szöget -vel. Ennek segítségével kifejezhetők az konkáv négyszög szögei. Felírva két szinusz-tételt az és háromszögekre, majd a két egyenletet egymással elosztva egy trigonometrikus egyenletet kapunk -re. Ennek csak a hegyesszögű megoldása értelmes a példában. Ezután szakasz kiszámolható. cm. Figyelembe kell azonban venni a térkép méretarányát, így a valóságban 33,65 km a távolság.
8. Határozzuk meg azt a harmadfokú függvényt, amelyik a következő tulajdonságokkal rendelkezik: Belülről érinti az görbét az pontban. A két görbe metszi egymást az pontban. A két görbe közé zárt terület a intervallumban . Írjuk le a harmadfokú függvény menetét. (16 pont)
Megoldás. A harmadfokú függvényt keressük alakban: Érinti az görbét az pontban, ez két dolgot jelent: ‐ Illeszkedik rá a pont, tehát és ‐ A pontban közös a két görbe érintője, tehát a keresett függvény deriváltja a nulla helyen nulla, ahonnan . A két görbe metszi egymást az pontban, ezért . A két görbe közé zárt terület a intervallumban . Mivel a harmadfokú görbe belülről érinti a másodfokút, ezt a területet az alábbi integrál számítja ki: | | ahonnan .
A keresett függvény tehát A függvény menete leolvasható az ábráról.
9. Egy tagú társaság felszáll a három kocsiból álló HÉV szerelvényre, de a nagy tolongásban a társaság minden tagja csak azt nézi, hogy feljusson valamelyik kocsira, nem törődik azzal, hogy a társai melyik kocsiba szálltak. Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom kocsiba a társaság ‐ tagja szállt? Mennyi a valószínűsége, hogy a három kocsi közül legalább az egyikbe nem szállt fel senki a társaság tagjai közül? Mennyi a valószínűsége, hogy a három kocsi közül legalább az egyikbe legfeljebb egy ember szállt fel a társaságból? (16 pont)
Megoldás. Az, hogy valaki az első, második, harmadik kocsiba szállt, felfogható úgy, hogy kiválasztotta az 1, 2, 3 elemek valamelyikét. Az összes esetek száma ezért . Annak a valószínűsége, hogy mindhárom kocsiba a társaság 3‐3 tagja szállt, olyan sorozat valószínűségének felel meg, amelyben mindhárom elem 3-szor szerepel: Ez a valószínűség úgy tekinthető, hogy a sorozat minden eleme csak előre meghatározott kettő lehet. Vigyázni kell azonban arra, hogy ne számoljuk többször azokat az eseteket, amikor mindenki ugyanarra a kocsira szállt. Ha a három kocsi közül legalább az egyikbe legfeljebb egy ember szállt fel, akkor azok a rossz esetek, amikor minden kocsiba legalább ketten szálltak, vagyis ha az emberek eloszlása 2‐2‐5, vagy 2‐3‐4, vagy 3‐3‐3. A keresett valószínűség ezért | | |