Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a 2004/2. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2004/március, 135 - 138. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Tekintsük azokat a forgáshengereket, amelyekben az alapkör sugarának és a henger magasságának az összege 10cm. E forgáshengerek közül melyiknek a palástfelszíne a legnagyobb? Mennyi ez esetben a henger térfogata?
 

Megoldás. Ha a,bR, akkor 0(a-b)2, amiből
4ab(a+b)2,ígyab(a+b2)2,
ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a=b. Legyen a forgáshenger alapkörének sugara r, magassága m. A henger palástfelszíne P(r;m)=2πrm. Most r+m=10.
P=2πrm2π(r+m2)2=2π(102)2=50π.
A maximális palástfelszín r=m=5 cm esetén adódik. Ekkor a henger térfogata V=52π5=125πcm3.
 
2. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert, ahol a valós paraméter:
{(a-1)x+3y=3a,x+(a+1)y=2.

 
Megoldás. Helyettesítve vagy az egyenlő együtthatók módszerével x kiküszöbölhető, kapjuk: (4-a2)y=a+2.
a) Ha |a|2, akkor y=12-a és x=3a-1a-2.
b) Ha a=-2, akkor -3x+3y=-6 és x-y=2, tehát a megoldások az x=t+2, y=t, tR számpárok.
c) Ha a=2, akkor x+3y=6 és x+3y=2, az egyenletek ellentmondóak, ebben az esetben nincs megoldás.
 
3. Egy húrtrapéz területe 1443cm2, a szárak hossza megegyezik a trapéz köré írt kör sugarával. Számítsuk ki a trapéz magasságát, átlóját és középvonalának hosszát. Kiszámítható-e a trapéz párhuzamos oldalainak hossza?
 

Megoldás. Az ABCD húrtrapéz AD és BC száraira AD=BC=r, ahol r a trapéz köré írt kör sugara. Ha a trapéz köré írt kör középpontja O, akkor az OBC háromszög mindhárom oldala r, a kör rövidebb BC ívéhez tartozó középponti szöge 60, így CAB=30. Legyen AB>DC, a C vetülete az AB oldalon C1. Ekkor CC1 a trapéz magassága, AC1 hossza pedig megegyezik a trapéz középvonalának hosszával (miért?). Így, ha CC1=m és CAC1=30, akkor AC=2m és AC1=m3. A feltétel szerint
m3m=1443,tehátm=12cm.  
AC1=123 cm és az átló AC=24 cm.
Végtelen sok ilyen húrtrapéz létezik, a párhuzamos oldalak hossza nem számítható ki.
 
4. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:
422x-122x+9=3-2x+1;(*)2cos2x-4cosx+3=1-2cosx.(*)
 

Megoldás. a) 422x-62x+1+9=(2x+1-3)2, tehát |2x+1-3|=3-2x+1, ami pontosan akkor teljesül, ha 2x+1-30, 2x+13, x+1log23, xlog232.
2cos2x-4cosx+3=2(2cos2x-1)-4cosx+3=(2cosx-1)2,b)
tehát |2cosx-1|=1-2cosx, ami pontosan akkor teljesül, ha 2cosx-10, cosx12, π3+2kπx5π3+2kπ.
 
5. Sn, Sk, Sn+k egy számtani sorozat első n, k, illetve n+k tagjának az összege. Igazoljuk, hogy
(n+k)(Sn-Sk)=(n-k)Sn+k.
 

Megoldás. Ha n=k, akkor az állítás igaz (0=0). Legyen nk. Az ismert összegképletek szerint
Sn=n2(2a1+(n-1)d),Sk=k2(2a1+(k-1)d)ésSn+k=n+k2(2a1+(n+k-1)d).
Mivel
Sn-Sk=(n-k)a1+(n2-n2-k2-k2)d=(n-k)a1+n-k2(n+k-1)d==n-k2(2a1+(n+k-1)d),
azért valóban
(n+k)(Sn-Sk)=(n+k)(n-k)2(2a1+(n+k-1)d)=(n-k)Sn+k.

 
6. Tekintsük a [-4;4] intervallumon értelmezett xf(x) függvényt, ahol
f(x)=|x-3|+|x+1||x+3|+|x-1|.
Számítsuk ki a függvény maximumát és minimumát, valamint azokat az x értékeket, ahol ezeket felveszi a függvény.
 

Megoldás. Mivel minden valós x esetén |x+3|+|x-1|>0, azért a kifejezés a [-4;4] intervallumban valóban értelmezett.
a) Ha -4x-3, akkor f(x)=3-x-x-1-3-x-x+1=1-2x+1, a függvény szigorúan monoton növekvő: f(-4)=53f(x)2=f(-3).
b) Ha -3<x<-1, akkor f(x)=3-x-x-1x+3-x+1=-12x+12, a függvény szigorúan monoton csökkenő, a felvett függvényértékek: f(-3)=2>f(x)>1=f(-1) (nyitott intervallumban egy szigorúan monoton függvény sem legkisebb, sem legnagyobb értéket nem vesz fel).
c) Ha -1x1, akkor f(x)=1.
d) Ha 1<x<3, akkor f(x)=2x+1, a felvett függvényértékek: f(1)=1>f(x)>12=f(3).
e) Ha 3x4, akkor f(x)=x-3+x+1x+3+x-1=x+1-2x+1=1-2x+1 és a felvett függvényértékek: f(3)=12f(x)35=f(4).
Az f függvény legnagyobb értéke 2, amit a -3 helyen vesz fel, legkisebb értéke 12, amit a 3 helyen vesz fel.
 
7. Igazoljuk, hogy ha α, β egy háromszög két szöge és
sin(α-β)=sin2α-sin2β,
akkor a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú.
 

Megoldás. Azonos átalakításokkal
sin2α-sin2β=(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)==(2sinα+β2cosα-β2)(2cosα+β2sinα-β2)=sin(α+β)sin(α-β).
A feltételi egyenletből
(sin(α-β))(1-sin(α+β))=0.
Ha sin(α-β)=0, akkor α-β=kπ, kZ, tehát most α=β, ha sin(α+β)=1, akkor α+β=π2+2nπ, nZ, most α+β=π2, azaz valóban a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű.
 
8. Tapasztaljuk, hogy
44-8=62,4444-88=662,444444-888=6662.
Igazoljuk, hogy
44...42n  jegyű-88...8n  jegyű=66...6n  jegyű2.
 

Megoldás.
44...42n  jegyű=44...4n  szám-jegy00...0n  szám-jegy+44...4n  jegyű=44...4n  jegyű10n+44...4n  jegyű,88...8n  jegyű=244...4n  jegyű.
Az adott szám:
44...4n  jegyű10n+44...4n  jegyű-244...4n  jegyű=44...4n  jegyű(10n-1)=(411...1n  jegyű)(911...1n  jegyű)==6211...1n  jegyű2=(66...6n  jegyű)2.