A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Tekintsük azokat a forgáshengereket, amelyekben az alapkör sugarának és a henger magasságának az összege . E forgáshengerek közül melyiknek a palástfelszíne a legnagyobb? Mennyi ez esetben a henger térfogata? Megoldás. Ha , akkor , amiből | | ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha . Legyen a forgáshenger alapkörének sugara , magassága . A henger palástfelszíne . Most . | | A maximális palástfelszín cm esetén adódik. Ekkor a henger térfogata .
2. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert, ahol a valós paraméter: | {(a-1)x+3y=3a,x+(a+1)y=2. |
Megoldás. Helyettesítve vagy az egyenlő együtthatók módszerével x kiküszöbölhető, kapjuk: (4-a2)y=a+2. a) Ha |a|≠2, akkor y=12-a és x=3⋅a-1a-2. b) Ha a=-2, akkor -3x+3y=-6 és x-y=2, tehát a megoldások az x=t+2, y=t, t∈R számpárok. c) Ha a=2, akkor x+3y=6 és x+3y=2, az egyenletek ellentmondóak, ebben az esetben nincs megoldás.
3. Egy húrtrapéz területe 1443cm2, a szárak hossza megegyezik a trapéz köré írt kör sugarával. Számítsuk ki a trapéz magasságát, átlóját és középvonalának hosszát. Kiszámítható-e a trapéz párhuzamos oldalainak hossza? Megoldás. Az ABCD húrtrapéz AD és BC száraira AD=BC=r, ahol r a trapéz köré írt kör sugara. Ha a trapéz köré írt kör középpontja O, akkor az OBC háromszög mindhárom oldala r, a kör rövidebb BC ívéhez tartozó középponti szöge 60∘, így CAB∢=30∘. Legyen AB>DC, a C vetülete az AB oldalon C1. Ekkor CC1 a trapéz magassága, AC1 hossza pedig megegyezik a trapéz középvonalának hosszával (miért?). Így, ha CC1=m és CAC1∢=30∘, akkor AC=2m és AC1=m3. A feltétel szerint AC1=123 cm és az átló AC=24 cm. Végtelen sok ilyen húrtrapéz létezik, a párhuzamos oldalak hossza nem számítható ki.
4. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:
4⋅22x-12⋅2x+9=3-2x+1;(*)2cos2x-4cosx+3=1-2cosx.(*)
Megoldás. a) 4⋅22x-6⋅2x+1+9=(2x+1-3)2, tehát |2x+1-3|=3-2x+1, ami pontosan akkor teljesül, ha 2x+1-3≤0, 2x+1≤3, x+1≤log23, x≤log232.
| 2cos2x-4cosx+3=2(2cos2x-1)-4cosx+3=(2cosx-1)2, | b) | tehát |2cosx-1|=1-2cosx, ami pontosan akkor teljesül, ha 2cosx-1≤0, cosx≤12, π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ.
5. Sn, Sk, Sn+k egy számtani sorozat első n, k, illetve n+k tagjának az összege. Igazoljuk, hogy Megoldás. Ha n=k, akkor az állítás igaz (0=0). Legyen n≠k. Az ismert összegképletek szerint | Sn=n2(2a1+(n-1)d),Sk=k2(2a1+(k-1)d)ésSn+k=n+k2(2a1+(n+k-1)d). | Mivel
Sn-Sk=(n-k)a1+(n2-n2-k2-k2)d=(n-k)a1+n-k2(n+k-1)d==n-k2(2a1+(n+k-1)d),
azért valóban | (n+k)(Sn-Sk)=(n+k)(n-k)2(2a1+(n+k-1)d)=(n-k)⋅Sn+k. |
6. Tekintsük a [-4;4] intervallumon értelmezett x↦f(x) függvényt, ahol | f(x)=|x-3|+|x+1||x+3|+|x-1|. | Számítsuk ki a függvény maximumát és minimumát, valamint azokat az x értékeket, ahol ezeket felveszi a függvény. Megoldás. Mivel minden valós x esetén |x+3|+|x-1|>0, azért a kifejezés a [-4;4] intervallumban valóban értelmezett. a) Ha -4≤x≤-3, akkor f(x)=3-x-x-1-3-x-x+1=1-2x+1, a függvény szigorúan monoton növekvő: f(-4)=53≤f(x)≤2=f(-3). b) Ha -3<x<-1, akkor f(x)=3-x-x-1x+3-x+1=-12x+12, a függvény szigorúan monoton csökkenő, a felvett függvényértékek: f(-3)=2>f(x)>1=f(-1) (nyitott intervallumban egy szigorúan monoton függvény sem legkisebb, sem legnagyobb értéket nem vesz fel). c) Ha -1≤x≤1, akkor f(x)=1. d) Ha 1<x<3, akkor f(x)=2x+1, a felvett függvényértékek: f(1)=1>f(x)>12=f(3). e) Ha 3≤x≤4, akkor f(x)=x-3+x+1x+3+x-1=x+1-2x+1=1-2x+1 és a felvett függvényértékek: f(3)=12≤f(x)≤35=f(4). Az f függvény legnagyobb értéke 2, amit a -3 helyen vesz fel, legkisebb értéke 12, amit a 3 helyen vesz fel.
7. Igazoljuk, hogy ha α, β egy háromszög két szöge és akkor a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú. Megoldás. Azonos átalakításokkal | sin2α-sin2β=(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)==(2sinα+β2⋅cosα-β2)(2cosα+β2⋅sinα-β2)=sin(α+β)⋅sin(α-β). | A feltételi egyenletből | (sin(α-β))(1-sin(α+β))=0. | Ha sin(α-β)=0, akkor α-β=kπ, k∈Z, tehát most α=β, ha sin(α+β)=1, akkor α+β=π2+2nπ, n∈Z, most α+β=π2, azaz valóban a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű.
8. Tapasztaljuk, hogy | 44-8=62,4444-88=662,444444-888=6662. | Igazoljuk, hogy | 44...4︸2n jegyű-88...8︸n jegyű=66...6︸n jegyű2. | Megoldás.
44...4︸2n jegyű=44...4︸n szám-jegy00...0︸n szám-jegy+44...4︸n jegyű=44...4︸n jegyű⋅10n+44...4︸n jegyű,88...8︸n jegyű=2⋅44...4︸n jegyű.
Az adott szám:
44...4︸n jegyű⋅10n+44...4︸n jegyű-2⋅44...4︸n jegyű=44...4︸n jegyű⋅(10n-1)=(4⋅11...1︸n jegyű)(9⋅11...1︸n jegyű)==62⋅11...1︸n jegyű2=(66...6︸n jegyű)2.
|