Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2004/2. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2004/március, 135 - 138. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Tekintsük azokat a forgáshengereket, amelyekben az alapkör sugarának és a henger magasságának az összege $10 cm$ . E forgáshengerek közül melyiknek a palástfelszíne a legnagyobb? Mennyi ez esetben a henger térfogata?

Megoldás. Ha

a, b \in R

, akkor

0 \leq {(a - b)}^{2}

, amiből

\begin{matrix} 4 a b \leq {(a + b)}^{2}, így a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2}, \end{matrix}

ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha

a = b

. Legyen a forgáshenger alapkörének sugara

r

, magassága

m

. A henger palástfelszíne

P (r; m) = 2 π r m

. Most

r + m = 10

\begin{matrix} P = 2 π r m \leq 2 π {(\frac{r + m}{2})}^{2} = 2 π \cdot {(\frac{10}{2})}^{2} = 50 π . \end{matrix}

A maximális palástfelszín

r = m = 5

cm esetén adódik. Ekkor a henger térfogata

V = 5^{2} \cdot π \cdot 5 = 125 π cm^{3}

2. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert, ahol

a

valós paraméter:

\begin{matrix} {\begin{matrix} (a - 1) x + 3 y & = 3 a, \\ x + (a + 1) y & = 2. \end{matrix} \end{matrix}

Megoldás. Helyettesítve vagy az egyenlő együtthatók módszerével

x

kiküszöbölhető, kapjuk:

(4 - a^{2}) y = a + 2

a)

| a | \neq 2

, akkor

y = \frac{1}{2 - a}

és

x = 3 \cdot \frac{a - 1}{a - 2}

b)

a = - 2

, akkor

- 3 x + 3 y = - 6

és

x - y = 2

, tehát a megoldások az

x = t + 2

y = t

t \in R

számpárok.

c)

a = 2

, akkor

x + 3 y = 6

és

x + 3 y = 2

, az egyenletek ellentmondóak, ebben az esetben nincs megoldás.

3. Egy húrtrapéz területe

144 \sqrt[]{3} cm^{2}

, a szárak hossza megegyezik a trapéz köré írt kör sugarával. Számítsuk ki a trapéz magasságát, átlóját és középvonalának hosszát. Kiszámítható-e a trapéz párhuzamos oldalainak hossza?

Megoldás. Az

A B C D

húrtrapéz

A D

és

B C

száraira

A D = B C = r

, ahol

r

a trapéz köré írt kör sugara. Ha a trapéz köré írt kör középpontja

O

, akkor az

O B C

háromszög mindhárom oldala

r

, a kör rövidebb

B C

ívéhez tartozó középponti szöge

60^{\circ}

, így

C A B ∢ = 30^{\circ}

. Legyen

A B > D C

, a

C

vetülete az

A B

oldalon

C_{1}

. Ekkor

C C_{1}

a trapéz magassága,

A C_{1}

hossza pedig megegyezik a trapéz középvonalának hosszával (miért?). Így, ha

C C_{1} = m

és

C A C_{1} ∢ = 30^{\circ}

, akkor

A C = 2 m

és

A C_{1} = m \sqrt[]{3}

. A feltétel szerint

\begin{matrix} m \sqrt[]{3} \cdot m = 144 \sqrt[]{3}, tehát m = 12 cm. \end{matrix}

A C_{1} = 12 \sqrt[]{3}

cm és az átló

A C = 24

cm.
Végtelen sok ilyen húrtrapéz létezik, a párhuzamos oldalak hossza nem számítható ki.

4. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:

\begin{matrix} \sqrt[]{4 \cdot 2^{2 x} - 12 \cdot 2^{x} + 9} & = 3 - 2^{x + 1}; & (*) \\ \sqrt[]{2 cos 2 x - 4 cos x + 3} & = 1 - 2 cos x . & (*) \end{matrix}

Megoldás.

a)

4 \cdot 2^{2 x} - 6 \cdot 2^{x + 1} + 9 = {(2^{x + 1} - 3)}^{2}

, tehát

| 2^{x + 1} - 3 | = 3 - 2^{x + 1}

, ami pontosan akkor teljesül, ha

2^{x + 1} - 3 \leq 0

2^{x + 1} \leq 3

x + 1 \leq log_{2} 3

x \leq log_{2} \frac{3}{2}

\begin{matrix} 2 cos 2 x - 4 cos x + 3 = 2 (2 cos^{2} x - 1) - 4 cos x + 3 = {(2 cos x - 1)}^{2}, \end{matrix}

tehát

| 2 cos x - 1 | = 1 - 2 cos x

, ami pontosan akkor teljesül, ha

2 cos x - 1 \leq 0

cos x \leq \frac{1}{2}

\frac{π}{3} + 2 k π \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 k π

S_{n}

S_{k}

S_{n + k}

egy számtani sorozat első

n

k

, illetve

n + k

tagjának az összege. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} (n + k) (S_{n} - S_{k}) = (n - k) \cdot S_{n + k} . \end{matrix}

Megoldás. Ha

n = k

, akkor az állítás igaz (

0 = 0

). Legyen

n \neq k

. Az ismert összegképletek szerint

\begin{matrix} S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d), S_{k} = \frac{k}{2} (2 a_{1} + (k - 1) d) és S_{n + k} = \frac{n + k}{2} (2 a_{1} + (n + k - 1) d) . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} S_{n} - S_{k} & = & (n - k) a_{1} + (\frac{n^{2} - n}{2} - \frac{k^{2} - k}{2}) d = (n - k) a_{1} + \frac{n - k}{2} (n + k - 1) d = \\ = & \frac{n - k}{2} (2 a_{1} + (n + k - 1) d), \end{matrix}

azért valóban

\begin{matrix} (n + k) (S_{n} - S_{k}) = \frac{(n + k) (n - k)}{2} (2 a_{1} + (n + k - 1) d) = (n - k) \cdot S_{n + k} . \end{matrix}

6. Tekintsük a

[- 4; 4]

intervallumon értelmezett

x \mapsto f (x)

függvényt, ahol

\begin{matrix} f (x) = \frac{| x - 3 | + | x + 1 |}{| x + 3 | + | x - 1 |} . \end{matrix}

Számítsuk ki a függvény maximumát és minimumát, valamint azokat az

x

értékeket, ahol ezeket felveszi a függvény.

Megoldás. Mivel minden valós

x

esetén

| x + 3 | + | x - 1 | > 0

, azért a kifejezés a

[- 4; 4]

intervallumban valóban értelmezett.

a)

- 4 \leq x \leq - 3

, akkor

f (x) = \frac{3 - x - x - 1}{- 3 - x - x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}

, a függvény szigorúan monoton növekvő:

f (- 4) = \frac{5}{3} \leq f (x) \leq 2 = f (- 3)

b)

- 3 < x < - 1

, akkor

f (x) = \frac{3 - x - x - 1}{x + 3 - x + 1} = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

, a függvény szigorúan monoton csökkenő, a felvett függvényértékek:

f (- 3) = 2 > f (x) > 1 = f (- 1)

(nyitott intervallumban egy szigorúan monoton függvény sem legkisebb, sem legnagyobb értéket nem vesz fel).

c)

- 1 \leq x \leq 1

, akkor

f (x) = 1

d)

1 < x < 3

, akkor

f (x) = \frac{2}{x + 1}

, a felvett függvényértékek:

f (1) = 1 > f (x) > \frac{1}{2} = f (3)

e)

3 \leq x \leq 4

, akkor

f (x) = \frac{x - 3 + x + 1}{x + 3 + x - 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}

és a felvett függvényértékek:

f (3) = \frac{1}{2} \leq f (x) \leq \frac{3}{5} = f (4)

.
Az

f

függvény legnagyobb értéke 2, amit a

- 3

helyen vesz fel, legkisebb értéke

\frac{1}{2}

, amit a

3

helyen vesz fel.

7. Igazoljuk, hogy ha

α

β

egy háromszög két szöge és

\begin{matrix} sin (α - β) = sin^{2} α - sin^{2} β, \end{matrix}

akkor a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú.

Megoldás. Azonos átalakításokkal

\begin{matrix} sin^{2} α - sin^{2} β = (sin α + sin β) (sin α - sin β) = \\ = (2 sin \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}) (2 cos \frac{α + β}{2} \cdot sin \frac{α - β}{2}) = sin (α + β) \cdot sin (α - β) . \end{matrix}

A feltételi egyenletből

\begin{matrix} (sin (α - β)) (1 - sin (α + β)) = 0. \end{matrix}

sin (α - β) = 0

, akkor

α - β = k π

k \in Z

, tehát most

α = β

, ha

sin (α + β) = 1

, akkor

α + β = \frac{π}{2} + 2 n π

n \in Z

, most

α + β = \frac{π}{2}

, azaz valóban a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű.

8. Tapasztaljuk, hogy

\begin{matrix} 44 - 8 = 6^{2}, 4444 - 88 = 66^{2}, 444 444 - 888 = 666^{2} . \end{matrix}

Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} {\underset{︸}{44 ... 4}}_{2 n jegyű}^{} - {\underset{︸}{88 ... 8}}_{n jegyű}^{} = {\underset{︸}{66 ... 6}}_{n jegyű}^{}^{2} . \end{matrix}

Megoldás.

\begin{matrix} {\underset{︸}{44 ... 4}}_{2 n jegyű}^{} = {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n szám- jegy}^{} {\underset{︸}{00 ... 0}}_{n szám- jegy}^{} + {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{} = {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{} \cdot 10^{n} + {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{}, \\ {\underset{︸}{88 ... 8}}_{n jegyű}^{} = 2 \cdot {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{} . \end{matrix}

Az adott szám:

\begin{matrix} {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{} \cdot 10^{n} + {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{} - 2 \cdot {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{} & = & {\underset{︸}{44 ... 4}}_{n jegyű}^{} \cdot (10^{n} - 1) = (4 \cdot {\underset{︸}{11 ... 1}}_{n jegyű}^{}) (9 \cdot {\underset{︸}{11 ... 1}}_{n jegyű}^{}) = \\ = & 6^{2} \cdot {\underset{︸}{11 ... 1}}_{n jegyű}^{}^{2} = ({\underset{︸}{66 ... 6}}_{n jegyű}^{})^{2} . \end{matrix}