Cím: A 34. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai
Füzet: 2003/október, 427 - 432. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.



 
A 34. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai1
 

1. feladat. Inga, melynek felső végét is egy súly húzhatja
 

Egy R sugarú merev rudat a talaj felett bizonyos magasságban vízszintes helyzetben rögzítettünk. Egy elhanyagolható tömegű, L hosszúságú (L>2πR) fonál egyik végét az 1. ábrán látható módon a rúd legfelső, A pontjában rögzítettük, a másik végére m tömegű pontszerűnek tekinthető testet erősítve ingát készítettünk. A fonalat feszesen tartva az inga nehezékét az A ponttal azonos magasságba emeljük, majd onnan kezdősebesség nélkül elengedjük. A fonalat kezdetben feszültségmentesnek tekinthetjük, és feltehetjük, hogy az ingatest a rúd tengelyére merőleges síkban mozog. A továbbiakban az ingatestet részecskének fogjuk nevezni. A nehézségi gyorsulás g.
 

 
1. ábra
 

Legyen O a koordináta-rendszerünk origója! Amikor a részecske a P pontban van, a fonál a hengerfelület Q pontbeli érintőjével egyirányú. A QP szakasz hosszát s-sel jelöljük. A Q pontbeli érintő irányú egységvektort jelölje t^, a sugár irányú egységvektort pedig r^. Az OQ sugár szögelfordulása θ, melyet az OA függőleges x tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban tekintjük pozitívnak.
Amikor θ=0, az s távolság nagysága L, és a részecske gravitációs potenciális energiája, U legyen nulla. A részecske mozgása során az időben változó θ és s mennyiségek változási sebességét jelölje θ˙ és s˙. Hacsak nem jelezzük másként, valamennyi sebességet a rögzített O pontra vonatkoztatjuk.
 
A. Ebben a részben a részecske mozgása során a fonál végig feszes marad. A fentebb bevezetett mennyiségek (vagyis s, θ, s˙, θ˙, R, L, g, t^ és r^) segítségével fejezzük ki:
 

a) θ˙ és s˙ közötti kapcsolatot (0,5 pont).
b) A mozgó Q pont O ponthoz viszonyított sebességvektorát (0,5 pont).
c)P pontban levő részecske Q ponthoz viszonyított vQ sebességvektorát (0,7 pont).
d)P pontban levő részecske v sebességvektorát az O ponthoz viszonyítva (0,7 pont).
e)P pontban levő részecske O pontra vonatkoztatott gyorsulásának komponensét (0,7 pont).
f)P pontban levő részecske U gravitációs potenciális energiáját (0,5 pont).
g) A részecske sebességének vm nagyságát a pályájának legalacsonyabb pontjában (0,7 pont).
 

B. Ebben a részben az L és R mennyiségek aránya legyen
LR=9π8+23ctgπ166,886.

 
h) Adjuk meg a részecske sebességének nagyságát (g és R függvényében) abban a helyzetben, amikor a QP fonalhossz a legrövidebb, de a fonal még nem lazult meg (2,4 pont).
i) Mekkora a rúd túlsó oldalára átlendült részecske sebessége (g és R függvényében) a pályájának ottani legmagasabb, H pontjában (1,9 pont)?
 
C. Ebben a részben az m tömegű nehezékkel rendelkező inga fonalának felső végét nem rögzítjük az A ponthoz, hanem a fonalat a rúd tetején átvetve a végét egy nehezebb, M tömegű súlyhoz kapcsoljuk, az 2. ábrán látható módon. A súly ugyancsak pontszerűnek tekinthető. Kezdetben az ingatestet az A ponttal azonos magasságban tartjuk, a másik oldalon a súly az O pontnál mélyebben helyezkedik el, a fonál feszes, és a vízszintes részének hossza L. Ezután az ingatestet kezdősebesség nélkül elengedjük, és a súly is süllyedni kezd. Feltehetjük, hogy az ingatest mindvégig egy függőleges síkban mozog, és át tud lendülni a lefelé mozgó súly mellett, anélkül, hogy egymás mozgását megzavarnák. A rúd felülete és a fonal közötti csúszási súrlódás elhanyagolható, a tapadó súrlódásról viszont feltesszük, hogy az elegendően nagy, és emiatt az egyszer megálló súly nem tud ismét megmozdulni, nyugalomban kell maradjon.
 

 
2. ábra
 

j) Tegyük fel, hogy a súly D nagyságú függőleges elmozdulás után valóban megáll, és hogy (L-D)R. Ahhoz, hogy az ingatest a rúd körül teljesen körbefordulhasson, vagyis θ=2π lehessen, méghozzá úgy, hogy a fonál mindkét ága egyenes maradjon, az szükséges, hogy az α=D/L hosszúságarány ne legyen kisebb egy bizonyos kritikus αk értéknél.
Elhanyagolva az R/L nagyságrendű, vagy ennek magasabb hatványait tartalmazó kicsiny tagokat, adjunk becslést αk nagyságára az M/m tömegaránnyal kifejezve (3,4 pont)!
 

2. feladat. Piezoelektromos kristályrezonátor elektromos váltófeszültséggel
Tekintsünk egy homogén, A keresztmetszetű rudat, melynek mechanikai feszültségektől mentes állapotban a hossza (3. ábra).
 

 
3. ábra
 

Ha a rúd két végén azonos nagyságú, de ellentétes irányú, a felületre merőleges F erő hat, a rúd hossza Δ-lel megváltozik. A T mechanikai feszültséget a rúd végein az F/A képlet definiálja. A rúd hosszának relatív megváltozását, azaz Δ/-t deformációnak nevezzük, és S-sel jelöljük. A mechanikai feszültség és a deformáció segítségével a Hooke-törvényt a következő alakban is felírhatjuk:
T=YSvagyFA=YΔ,(1)
ahol Y a rúd anyagának Young-modulusa. Jegyezzük meg, hogy T nyomó feszültség, ha F<0 és a rúd hossza csökken (azaz Δ<0). Az ilyen feszültség tehát negatív, és értéke a p nyomás (-1)-szerese: T=-p. Egy homogén, ϱ sűrűségű rúdban a longitudinális hullámok terjedési sebessége (azaz a hangsebesség) a következő képlettel adható meg:
u=Yϱ.(2)
(A feladat megoldása során minden csillapítás és elnyelődés elhanyagolható.)
 
A. Mechanikai tulajdonságok
Egy homogén, egyik irányban végtelen rúd (kiterjedése x=0-tól -ig tart), sűrűsége ϱ. A rúd kezdetben nyugalomban van és feszültségmentes. A rúd bal felületére az x=0 helyen egy nagyon rövid Δt ideig állandó, kicsiny p nyomás hat, és ezzel elindít egy u sebességgel jobbra haladó nyomáshullámot (4. ábra).
 

 
4. ábra
 

a) Mekkora ez alatt a Δt idő alatt az S deformáció és a p nyomás a rúd bal oldali felületénél, ha a dugattyú a rúd bal oldali felületét állandó v sebességgel mozgatja (4. ábra)? A választ ϱ, u és v függvényében kell megadni (1,6 pont)!
 

 
5. ábra
 

b) Tekintsünk egy longitudinális hullámot, amely x irányban terjed a rúdban! Jelöljük a rúd feszültségmentes állapotában x helyen levő keresztmetszetének t időpontbeli elmozdulását ξ(x,t)-vel (5. ábra), és tételezzük fel, hogy
ξ(x,t)=ξ0sink(x-ut),(3)
ahol ξ0 és k állandók. Határozd meg a megfelelő v(x,t) sebességet, S(x,t) deformációt és p(x,t) nyomást x és t függvényében (2,4 pont)!
 
B. Elektromechanikai tulajdonságok (beleértve a piezoelektromos hatást)
Tekintsünk egy hasáb alakú kvarckristályt, amelynek hossza b, vastagsága h és szélessége w (6. ábra)! A hossza x tengely irányú, vastagsága pedig z tengely irányú. Az alsó és a felső felületén vékony fémbevonat segítségével elektromos kontaktusokat alakítottak ki. Az elektromos vezetékek, amelyek egyben tartószerkezetként is szolgálnak (7. ábra) a kontaktusok közepére vannak forrasztva, ezért az x irányú longitudinális rezgések során ezek a pontok nyugalomban kell maradjanak.
 

 
6. ábra
 

 
7. ábra
 

A vizsgált kvarckristály sűrűsége ϱ=2,65103kg/m3, Young-modulusa pedig Y=7,871010N/m2. A hasáb hossza b=1,00 cm, a w szélességre és a h vastagságra pedig hwb teljesül. A K kapcsoló nyitva van, és feltételezzük, hogy csak x irányú longitudinális módusú állóhullámok gerjesztődnek a kvarc hasábban.
Egy f=ω/(2π) frekvenciájú állóhullámban a ξ(x,t) elmozdulás a következő alakba írható:
ξ(x,t)=2ξ0g(x)cosωt,(0xb),(4a)
ahol ξ0 egy pozitív konstans, a g(x) helyfüggő tényező
g(x)=B1sink(x-b2)+B2cosk(x-b2)(4b)
alakú, g(x) maximális értéke 1 és k=ω/u. Ne felejtsd el, hogy az elektromos kontaktusok közepe nyugalomban van, és hogy a hasáb bal és jobb vége szabad, a mechanikai feszültség (vagy a nyomás) értéke ezeken a helyeken nulla kell legyen!
c) Határozd meg a (4b) képletben szereplő B1 és B2 állandók értékét, ha a kvarc hasábban egy longitudinális állóhullám alakul ki (1,2 pont)!
d) Mekkora az a két legkisebb frekvencia, amelyen longitudinális állóhullám gerjeszthető a kvarc hasábban (1,2 pont)?
 
piezoelektromos hatás a kvarckristály speciális tulajdonsága. A kristály összenyomása vagy megnyújtása elektromos feszültséget hoz létre a kristályban, és fordítva, a kristályra kapcsolt külső elektromos feszültség vagy megnyúlást, vagy összehúzódást okoz, a polaritástól függően. Így a mechanikai és az elektromos rezgések csatolódhatnak és rezonálhatnak a kvarckristályban.
Legyen a felső és az alsó elektromos kontaktus elektromos töltéssűrűsége -σ, illetve +σ, ha a kvarc hasábban E nagyságú, z irányú elektromos tér van! Jelölje a hasáb x irányú deformációját és mechanikai feszültségét S, illetve T! Ekkor a piezoelektromos hatás a kvarckristályban a következő egyenletrendszerrel írható le:
S=(1/Y)T+dpE,(5a)σ=dpT+εTE,(5b)
ahol 1/Y=1,2710-11m2/N   a Young-modulus reciproka állandó elektromos tér esetén, εT=4,0610-11F/m a dielektromos állandó konstans mechanikai feszültség esetén, dp=2,2510-12m/V pedig a piezoelektromos együttható.
Legyen most a 6. ábrán látható K kapcsoló zárva! Ekkor U(t)=Umcosωt elektromos váltófeszültség jelenik meg a kontaktusokon, és a kvarc hasábban homogén, E(t)=U(t)/h nagyságú, z irányú elektromos tér keletkezik. Az állandósult állapot kialakulása után a hasábban egy x irányú, ω körfrekvenciájú longitudinális állóhullám figyelhető meg.
Mivel E homogén, a λ hullámhossz és a hasábban lévő állóhullámok f frekvenciája között továbbra is érvényes a λ=u/f összefüggés, ahol u értékét a (2) egyenlet adja meg. A T=YS összefüggés azonban most már nem érvényes, mint ahogy azt az (5a) egyenlet is mutatja. Ugyanakkor a deformáció és a mechanikai feszültség definíciója változatlan, a hasáb végei pedig továbbra is szabadok, nulla mechanikai feszültséggel.
 
e) Az (5a) és az (5b) egyenletek figyelembevételével a σ felületi töltéssűrűség az alsó elektromos kontaktuson x és t függvényében
σ(x,t)=[D1cosk(x-b2)+D2]U(t)h
alakú lesz, ahol k=ω/u. Vezesd le a fenti D1 és D2 mennyiségeket megadó összefüggéseket (2,2 pont)!
f) Az alsó kontaktuson lévő teljes Q(t) elektromos töltés az U(t) feszültségtől a
Q(t)=[1+α2(2kbtgkb2-1)]C0U(t).
képlet szerint függ. Vezesd le a kifejezésben szereplő C0 és α2 mennyiségeket megadó összefüggéseket, valamint α2 numerikus értékét (1,4 pont)!
 
3. feladat.2
A rész: Neutrínótömeg és neutronbomlás
Egy mn nyugalmi tömegű, a laboratóriumi koordináta-rendszerben álló, szabad neutron el tud bomlani három, egymással kölcsönhatásban nem álló részecskére: egy protonra, egy elektronra és egy antineutrínóra. A proton nyugalmi tömege mp, az antineutrínó mν nyugalmi tömegéről pedig feltesszük, hogy nem nulla, de sokkal kisebb, mint az elektron me nyugalmi tömege. A vákuumbeli fénysebességet jelölje c. A mért értékek a következők:
mn=939,56563MeV/c2,mp=938,27231MeV/c2,me=0,5109907MeV/c2.  
A továbbiakban minden energia és sebesség a laboratóriumi rendszerben értendő. Legyen a bomlás során keletkező elektron teljes energiája E.
 
a) Határozd meg az E energia legnagyobb lehetséges Emax értékét és az antineutrínó vm sebességét abban az esetben, amikor E=Emax! Mindkét választ a részecskék nyugalmi tömegei és a fénysebesség segítségével kell megadnod. Felhasználva, hogy mν<7,3eV/c2, számítsd ki numerikusan Emax és vm/c értékét 3 értékes tizedesjegy pontossággal (4 pont)!
 

B rész: Lebegtetés fénnyel
Egy R sugarú, m tömegű átlátszó üveg félgömb törésmutatója n. A félgömbön kívül a közeg törésmutatója 1-gyel egyenlő. A félgömb sík lapjának középső részére, a felületre merőlegesen egyenletes eloszlású monokromatikus, párhuzamos lézerfény-nyaláb esik, a 8. ábrán látható módon. A nehézségi gyorsulás g, függőlegesen lefelé mutat. A kör keresztmetszetű lézernyaláb δ sugara sokkal kisebb, mint R. Mind az üveg félgömb, mind pedig a lézernyaláb a z tengelyre nézve hengerszimmetrikus.
 

 
8. ábra
 

Az üveg félgömb semennyit nem nyel el a lézerfényből. A felületét egy átlátszó anyag megfelelő vékonyrétegével vonták be, oly módon, hogy az üvegbe belépő és az onnan kilépő fény visszaverődése elhanyagolhatóan kicsi legyen. A visszaverődésmentes felületi rétegen áthaladó lézerfény optikai úthossza ugyancsak elhanyagolható.
 

b) Elhanyagolva a (δ/R)3 és még magasabb hatványú tagokat, határozd meg, hogy mekkora P lézerteljesítmény szükséges az üveg félgömb súlyának kiegyensúlyozásához (4 pont)!
Útmutatás: cosθ1-θ2/2, ha θ1.
1A részpontszámokat azok kedvéért közöljük, akik ‐ későbbi versenyekre készülve ‐ az olimpiához hasonló feltételek mellett önállóan akarják megoldani a feladatokat. A ,,hivatalos'' megoldást és a mérési feladatot a KöMaL novemberi számában ismertetjük.
A feladatok kidolgozására 5 óra állt rendelkezésre.

2Ez a feladat két független részből áll.