A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 34. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai 1. feladat. Inga, melynek felső végét is egy súly húzhatja Egy sugarú merev rudat a talaj felett bizonyos magasságban vízszintes helyzetben rögzítettünk. Egy elhanyagolható tömegű, hosszúságú fonál egyik végét az 1. ábrán látható módon a rúd legfelső, pontjában rögzítettük, a másik végére tömegű pontszerűnek tekinthető testet erősítve ingát készítettünk. A fonalat feszesen tartva az inga nehezékét az ponttal azonos magasságba emeljük, majd onnan kezdősebesség nélkül elengedjük. A fonalat kezdetben feszültségmentesnek tekinthetjük, és feltehetjük, hogy az ingatest a rúd tengelyére merőleges síkban mozog. A továbbiakban az ingatestet részecskének fogjuk nevezni. A nehézségi gyorsulás .
 1. ábra Legyen a koordináta-rendszerünk origója! Amikor a részecske a pontban van, a fonál a hengerfelület pontbeli érintőjével egyirányú. A szakasz hosszát -sel jelöljük. A pontbeli érintő irányú egységvektort jelölje , a sugár irányú egységvektort pedig . Az sugár szögelfordulása , melyet az függőleges tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban tekintjük pozitívnak. Amikor , az távolság nagysága , és a részecske gravitációs potenciális energiája, legyen nulla. A részecske mozgása során az időben változó és mennyiségek változási sebességét jelölje és . Hacsak nem jelezzük másként, valamennyi sebességet a rögzített pontra vonatkoztatjuk.
A. Ebben a részben a részecske mozgása során a fonál végig feszes marad. A fentebb bevezetett mennyiségek (vagyis , , , , , , , és ) segítségével fejezzük ki: és közötti kapcsolatot (0,5 pont). A mozgó pont ponthoz viszonyított sebességvektorát (0,5 pont). A pontban levő részecske ponthoz viszonyított sebességvektorát (0,7 pont). A pontban levő részecske sebességvektorát az ponthoz viszonyítva (0,7 pont). A pontban levő részecske pontra vonatkoztatott gyorsulásának komponensét (0,7 pont). A pontban levő részecske gravitációs potenciális energiáját (0,5 pont). A részecske sebességének nagyságát a pályájának legalacsonyabb pontjában (0,7 pont). B. Ebben a részben az és mennyiségek aránya legyen
Adjuk meg a részecske sebességének nagyságát ( és függvényében) abban a helyzetben, amikor a fonalhossz a legrövidebb, de a fonal még nem lazult meg (2,4 pont). Mekkora a rúd túlsó oldalára átlendült részecske sebessége ( és függvényében) a pályájának ottani legmagasabb, pontjában (1,9 pont)?
C. Ebben a részben az tömegű nehezékkel rendelkező inga fonalának felső végét nem rögzítjük az ponthoz, hanem a fonalat a rúd tetején átvetve a végét egy nehezebb, tömegű súlyhoz kapcsoljuk, az 2. ábrán látható módon. A súly ugyancsak pontszerűnek tekinthető. Kezdetben az ingatestet az ponttal azonos magasságban tartjuk, a másik oldalon a súly az pontnál mélyebben helyezkedik el, a fonál feszes, és a vízszintes részének hossza . Ezután az ingatestet kezdősebesség nélkül elengedjük, és a súly is süllyedni kezd. Feltehetjük, hogy az ingatest mindvégig egy függőleges síkban mozog, és át tud lendülni a lefelé mozgó súly mellett, anélkül, hogy egymás mozgását megzavarnák. A rúd felülete és a fonal közötti csúszási súrlódás elhanyagolható, a tapadó súrlódásról viszont feltesszük, hogy az elegendően nagy, és emiatt az egyszer megálló súly nem tud ismét megmozdulni, nyugalomban kell maradjon.
 2. ábra Tegyük fel, hogy a súly nagyságú függőleges elmozdulás után valóban megáll, és hogy Ahhoz, hogy az ingatest a rúd körül teljesen körbefordulhasson, vagyis lehessen, méghozzá úgy, hogy a fonál mindkét ága egyenes maradjon, az szükséges, hogy az hosszúságarány ne legyen kisebb egy bizonyos kritikus értéknél. Elhanyagolva az nagyságrendű, vagy ennek magasabb hatványait tartalmazó kicsiny tagokat, adjunk becslést nagyságára az tömegaránnyal kifejezve (3,4 pont)! 2. feladat. Piezoelektromos kristályrezonátor elektromos váltófeszültséggel Tekintsünk egy homogén, keresztmetszetű rudat, melynek mechanikai feszültségektől mentes állapotban a hossza (3. ábra).
 3. ábra Ha a rúd két végén azonos nagyságú, de ellentétes irányú, a felületre merőleges erő hat, a rúd hossza -lel megváltozik. A mechanikai feszültséget a rúd végein az képlet definiálja. A rúd hosszának relatív megváltozását, azaz -t deformációnak nevezzük, és -sel jelöljük. A mechanikai feszültség és a deformáció segítségével a Hooke-törvényt a következő alakban is felírhatjuk: ahol a rúd anyagának Young-modulusa. Jegyezzük meg, hogy nyomó feszültség, ha és a rúd hossza csökken (azaz ). Az ilyen feszültség tehát negatív, és értéke a nyomás -szerese: Egy homogén, sűrűségű rúdban a longitudinális hullámok terjedési sebessége (azaz a hangsebesség) a következő képlettel adható meg: (A feladat megoldása során minden csillapítás és elnyelődés elhanyagolható.)
A. Mechanikai tulajdonságok Egy homogén, egyik irányban végtelen rúd (kiterjedése -tól -ig tart), sűrűsége . A rúd kezdetben nyugalomban van és feszültségmentes. A rúd bal felületére az helyen egy nagyon rövid ideig állandó, kicsiny nyomás hat, és ezzel elindít egy sebességgel jobbra haladó nyomáshullámot (4. ábra).
 4. ábra Mekkora ez alatt a idő alatt az deformáció és a nyomás a rúd bal oldali felületénél, ha a dugattyú a rúd bal oldali felületét állandó sebességgel mozgatja (4. ábra)? A választ , és függvényében kell megadni (1,6 pont)!
 5. ábra Tekintsünk egy longitudinális hullámot, amely irányban terjed a rúdban! Jelöljük a rúd feszültségmentes állapotában helyen levő keresztmetszetének időpontbeli elmozdulását -vel (5. ábra), és tételezzük fel, hogy ahol és állandók. Határozd meg a megfelelő sebességet, deformációt és nyomást és függvényében (2,4 pont)!
B. Elektromechanikai tulajdonságok (beleértve a piezoelektromos hatást) Tekintsünk egy hasáb alakú kvarckristályt, amelynek hossza , vastagsága és szélessége (6. ábra)! A hossza tengely irányú, vastagsága pedig tengely irányú. Az alsó és a felső felületén vékony fémbevonat segítségével elektromos kontaktusokat alakítottak ki. Az elektromos vezetékek, amelyek egyben tartószerkezetként is szolgálnak (7. ábra) a kontaktusok közepére vannak forrasztva, ezért az irányú longitudinális rezgések során ezek a pontok nyugalomban kell maradjanak.
 6. ábra  7. ábra A vizsgált kvarckristály sűrűsége , Young-modulusa pedig Y=7,87⋅1010N/m2. A hasáb hossza b=1,00 cm, a w szélességre és a h vastagságra pedig h≪w≪b teljesül. A K kapcsoló nyitva van, és feltételezzük, hogy csak x irányú longitudinális módusú állóhullámok gerjesztődnek a kvarc hasábban. Egy f=ω/(2π) frekvenciájú állóhullámban a ξ(x,t) elmozdulás a következő alakba írható: | ξ(x,t)=2ξ0g(x)cosωt,(0≤x≤b), | (4a) | ahol ξ0 egy pozitív konstans, a g(x) helyfüggő tényező | g(x)=B1sink(x-b2)+B2cosk(x-b2) | (4b) | alakú, g(x) maximális értéke 1 és k=ω/u. Ne felejtsd el, hogy az elektromos kontaktusok közepe nyugalomban van, és hogy a hasáb bal és jobb vége szabad, a mechanikai feszültség (vagy a nyomás) értéke ezeken a helyeken nulla kell legyen! c) Határozd meg a (4b) képletben szereplő B1 és B2 állandók értékét, ha a kvarc hasábban egy longitudinális állóhullám alakul ki (1,2 pont)! d) Mekkora az a két legkisebb frekvencia, amelyen longitudinális állóhullám gerjeszthető a kvarc hasábban (1,2 pont)?
A piezoelektromos hatás a kvarckristály speciális tulajdonsága. A kristály összenyomása vagy megnyújtása elektromos feszültséget hoz létre a kristályban, és fordítva, a kristályra kapcsolt külső elektromos feszültség vagy megnyúlást, vagy összehúzódást okoz, a polaritástól függően. Így a mechanikai és az elektromos rezgések csatolódhatnak és rezonálhatnak a kvarckristályban. Legyen a felső és az alsó elektromos kontaktus elektromos töltéssűrűsége -σ, illetve +σ, ha a kvarc hasábban E nagyságú, z irányú elektromos tér van! Jelölje a hasáb x irányú deformációját és mechanikai feszültségét S, illetve T! Ekkor a piezoelektromos hatás a kvarckristályban a következő egyenletrendszerrel írható le:
S=(1/Y)T+dpE,(5a)σ=dpT+εTE,(5b)
ahol 1/Y=1,27⋅10-11m2/N a Young-modulus reciproka állandó elektromos tér esetén, εT=4,06⋅10-11F/m a dielektromos állandó konstans mechanikai feszültség esetén, dp=2,25⋅10-12m/V pedig a piezoelektromos együttható. Legyen most a 6. ábrán látható K kapcsoló zárva! Ekkor U(t)=Umcosωt elektromos váltófeszültség jelenik meg a kontaktusokon, és a kvarc hasábban homogén, E(t)=U(t)/h nagyságú, z irányú elektromos tér keletkezik. Az állandósult állapot kialakulása után a hasábban egy x irányú, ω körfrekvenciájú longitudinális állóhullám figyelhető meg. Mivel E homogén, a λ hullámhossz és a hasábban lévő állóhullámok f frekvenciája között továbbra is érvényes a λ=u/f összefüggés, ahol u értékét a (2) egyenlet adja meg. A T=YS összefüggés azonban most már nem érvényes, mint ahogy azt az (5a) egyenlet is mutatja. Ugyanakkor a deformáció és a mechanikai feszültség definíciója változatlan, a hasáb végei pedig továbbra is szabadok, nulla mechanikai feszültséggel.
e) Az (5a) és az (5b) egyenletek figyelembevételével a σ felületi töltéssűrűség az alsó elektromos kontaktuson x és t függvényében | σ(x,t)=[D1cosk(x-b2)+D2]U(t)h | alakú lesz, ahol k=ω/u. Vezesd le a fenti D1 és D2 mennyiségeket megadó összefüggéseket (2,2 pont)! f) Az alsó kontaktuson lévő teljes Q(t) elektromos töltés az U(t) feszültségtől a | Q(t)=[1+α2(2kbtgkb2-1)]C0U(t). | képlet szerint függ. Vezesd le a kifejezésben szereplő C0 és α2 mennyiségeket megadó összefüggéseket, valamint α2 numerikus értékét (1,4 pont)!
3. feladat. A rész: Neutrínótömeg és neutronbomlás Egy mn nyugalmi tömegű, a laboratóriumi koordináta-rendszerben álló, szabad neutron el tud bomlani három, egymással kölcsönhatásban nem álló részecskére: egy protonra, egy elektronra és egy antineutrínóra. A proton nyugalmi tömege mp, az antineutrínó mν nyugalmi tömegéről pedig feltesszük, hogy nem nulla, de sokkal kisebb, mint az elektron me nyugalmi tömege. A vákuumbeli fénysebességet jelölje c. A mért értékek a következők: | mn=939,56563MeV/c2,mp=938,27231MeV/c2,me=0,5109907MeV/c2. | A továbbiakban minden energia és sebesség a laboratóriumi rendszerben értendő. Legyen a bomlás során keletkező elektron teljes energiája E.
a) Határozd meg az E energia legnagyobb lehetséges Emax értékét és az antineutrínó vm sebességét abban az esetben, amikor E=Emax! Mindkét választ a részecskék nyugalmi tömegei és a fénysebesség segítségével kell megadnod. Felhasználva, hogy mν<7,3eV/c2, számítsd ki numerikusan Emax és vm/c értékét 3 értékes tizedesjegy pontossággal (4 pont)!
B rész: Lebegtetés fénnyel Egy R sugarú, m tömegű átlátszó üveg félgömb törésmutatója n. A félgömbön kívül a közeg törésmutatója 1-gyel egyenlő. A félgömb sík lapjának középső részére, a felületre merőlegesen egyenletes eloszlású monokromatikus, párhuzamos lézerfény-nyaláb esik, a 8. ábrán látható módon. A nehézségi gyorsulás g, függőlegesen lefelé mutat. A kör keresztmetszetű lézernyaláb δ sugara sokkal kisebb, mint R. Mind az üveg félgömb, mind pedig a lézernyaláb a z tengelyre nézve hengerszimmetrikus.
 8. ábra Az üveg félgömb semennyit nem nyel el a lézerfényből. A felületét egy átlátszó anyag megfelelő vékonyrétegével vonták be, oly módon, hogy az üvegbe belépő és az onnan kilépő fény visszaverődése elhanyagolhatóan kicsi legyen. A visszaverődésmentes felületi rétegen áthaladó lézerfény optikai úthossza ugyancsak elhanyagolható. b) Elhanyagolva a (δ/R)3 és még magasabb hatványú tagokat, határozd meg, hogy mekkora P lézerteljesítmény szükséges az üveg félgömb súlyának kiegyensúlyozásához (4 pont)! Útmutatás: cosθ≈1-θ2/2, ha θ≪1. A részpontszámokat azok kedvéért közöljük, akik ‐ későbbi versenyekre készülve ‐ az olimpiához hasonló feltételek mellett önállóan akarják megoldani a feladatokat. A ,,hivatalos'' megoldást és a mérési feladatot a KöMaL novemberi számában ismertetjük. A feladatok kidolgozására 5 óra állt rendelkezésre.Ez a feladat két független részből áll. |