Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a 2003/2. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2003/március, 143 - 145. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az
logx-1(x-2)logx-2(x-3)logx-3(x-1)=1
egyenletet.

 
Megoldás. Csak pozitív számoknak van logaritmusa, ezért x-2>0, x-3>0, x-1>0. A logaritmus alapja is pozitív és nem lehet 1, így x-11, x-21, x-31. Összefoglalva: x>3 és x4.
Térjünk át x-1 alapú logaritmusra:
logx-1(x-2)logx-1(x-3)logx-1(x-2)logx-1(x-1)logx-1(x-3)=1.
Elvégezzük az egyszerűsítéseket: logx-1(x-1)=1. Az egyenlet értelmezési tartományán ez azonosság, így a megoldás: x>3 és x4.
 
2. Egy téglatest különböző hosszúságú éleinek aránya 1:2:3. Minden élét 4cm-rel csökkentettük, így 1056cm2-rel csökkent a felszíne. Mennyivel csökkent a téglatest térfogata?
 
Megoldás. Ha az eredeti téglatest élei a, 2a és 3a, akkor felszíne:
A1=2(2a2+3a2+6a2)=22a2.
A másik téglatest élei a-4, 2a-4 és 3a-4, így a felszíne:
A2=2[(a-4)(2a-4)+(a-4)(3a-4)+(2a-4)(3a-4)]=22a2-96a+96.
A két felszín különbsége: A1-A2=96a-96=1056, azaz a=12 cm. Az eredeti téglatest élei 12 cm, 24 cm, 36 cm, térfogata: V1=122436=10368 (cm3), a másik téglatest élei 8 cm, 20 cm és 32 cm, ennek térfogata: V2=82032=5120 (cm3).
A téglatest térfogata így 5248 cm3-rel csökkent.
 
3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:
20x+y+2-63x+y-5=1,12x+y+213x+y=7.

 
Megoldás. A nevező nem lehet 0, így x+y-2, 3x+y5, x+y0, 3x+y0.
Legyen x+y=a, 3x+y=b, ekkor az egyenletrendszer a következő lesz:
20a+2-6b-5=112a+21b=7}.
Az első egyenletet (a+2)(b-5)-tel, a másodikat ab-vel szorozva rendezés után kapjuk, hogy
-a+18b-102=ab12b+21a=7ab}.
Innen a=57b-35714, és b-re a 19b2-184b+357=0 egyenletet kapjuk, amelynek egyetlen egész gyöke b=7, ahonnan a=3.
Mivel x+y=3 és 3x+y=7, azért x=2, y=1. Ez a számpár minden feltételnek eleget tesz, így ez az eredeti egyenletrendszer megoldása.
 
4. Mutassuk meg, hogy egy háromszög oldalaira akkor és csak akkor teljesül az a2b-bc2+c3=a2c+b2c-b3 összefüggés, ha a háromszög derékszögű, vagy pedig egyenlő szárú.
 
Megoldás. Rendezzük az összefüggést 0-ra:
a2b-a2c+b3-b2c-bc2+c3=0.
A tagokat párosítva kiemeléseket végezhetünk:
a2(b-c)+b2(b-c)-c2(b-c)=0,(b-c)(b2+a2-c2)=0.
Ez a szorzat akkor és csak akkor 0, ha b-c=0 vagy a2+b2-c2=0, vagyis a háromszög vagy egyenlő szárú, vagy derékszögű.
 
5. Az x2-6x+4=0 egyenlet gyökei egy téglalap két oldalának hosszát adják centiméterben. Két nem egybevágó hengernek a tengelymetszete egybevágó ezzel a téglalappal. Határozzuk meg a két henger felszínösszegét és térfogatösszegét.
 
Megoldás. A feladatot a gyökök kiszámítása nélkül oldjuk meg. A diszkrimináns pozitív, a két gyök szorzata (x1x2=4) és a két gyök összege (x1+x2=6) is pozitív, így két különböző pozitív valós gyöke van a másodfokú egyenletnek. Az egyik henger alapkörének átmérője x1, a magassága x2, a másik henger alapkörének átmérője x2, a magassága x1. Írjuk fel a felszínösszeget és a térfogatösszeget, az átalakítások után használjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket:
A1+A2=2(x12)π(x12+x2)+2(x22)π(x22+x1)=π(x122+2x1x2+x222)==π(x1+x2)2+2x1x22=π62+242=22π69,1(cm2).V1+V2=(x12)2πx2+(x22)2πx1=π4x1x2(x1+x2)=π446=6π18,8(cm3).

 
6. Négy testvér egy konvex négyszög alakú telket örökölt. A telek szemközti oldalainak felezőpontjait összekötve négy négyszögre osztották az örökséget. Az első három testvér rendre 360, 720 és 900m2-es telket kapott. Mekkora telek jutott a negyediknek?
A feladat nehezebbnek bizonyult, mint ahogy azt a szerkesztőség gondolta, ezért kitűzzük a pontversenyben (ld. 156. oldal).
 
7. Igazoljuk, hogy ha α>0, β>0, γ>0 és α+β+γ=π2, akkor
tgαtgβ+tgβtgγ+tgγtgα=1.

 
Megoldás. Alakítsuk az egyenlet bal oldalán álló kifejezést:
tgαtgβ+tgβtgγ+tgγtgα=tgαtgβ+tgγ(tgβ+tgα)==tgαtgβ+tg(π2-(α+β))(tgα+tgβ)=tgαtgβ+ctg(α+β)(tgα+tgβ)==tgαtgβ+1tg(α+β)(tgα+tgβ)=tgαtgβ+1-tgαtgβtgα+tgβ(tgα+tgβ)==tgαtgβ+1-tgαtgβ=1.
Ezzel bebizonyítottuk a feladat állítását.
 
8. Oldjuk meg a valós számok halmazán az x2+9x2(x+3)2=40 egyenletet.
 
Megoldás. Az értelmezési tartomány: x-3. Végezzük el a következő átalakításokat:
x2-6x2x+3+9x2(x+3)2=40-6x2x+3,(x-3xx+3)2=40-6x2x+3,(x2x+3)2+6x2x+3-40=0.
Ez x2x+3-ra másodfokú egyenlet, a két gyöke: 4 és -10. Az első esetben x1=6, x2=-2, a másodikban nem kapunk megoldást.