Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2003/2. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2003/március, 143 - 145. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\begin{matrix} log_{x - 1} (x - 2) \cdot log_{x - 2} (x - 3) \cdot log_{x - 3} (x - 1) = 1 \end{matrix}

egyenletet.

Megoldás. Csak pozitív számoknak van logaritmusa, ezért

x - 2 > 0

x - 3 > 0

x - 1 > 0

. A logaritmus alapja is pozitív és nem lehet 1, így

x - 1 \neq 1

x - 2 \neq 1

x - 3 \neq 1

. Összefoglalva:

x > 3

és

x \neq 4

.
Térjünk át

x - 1

alapú logaritmusra:

\begin{matrix} log_{x - 1} (x - 2) \cdot \frac{log_{x - 1} (x - 3)}{log_{x - 1} (x - 2)} \cdot \frac{log_{x - 1} (x - 1)}{log_{x - 1} (x - 3)} = 1. \end{matrix}

Elvégezzük az egyszerűsítéseket:

log_{x - 1} (x - 1) = 1

. Az egyenlet értelmezési tartományán ez azonosság, így a megoldás:

x > 3

és

x \neq 4

2. Egy téglatest különböző hosszúságú éleinek aránya

1 : 2 : 3

. Minden élét

4 cm

-rel csökkentettük, így

1056 cm^{2}

-rel csökkent a felszíne. Mennyivel csökkent a téglatest térfogata?

Megoldás. Ha az eredeti téglatest élei

a

2 a

és

3 a

, akkor felszíne:

\begin{matrix} A_{1} = 2 (2 a^{2} + 3 a^{2} + 6 a^{2}) = 22 a^{2} . \end{matrix}

A másik téglatest élei

a - 4

2 a - 4

és

3 a - 4

, így a felszíne:

\begin{matrix} A_{2} = 2 [(a - 4) (2 a - 4) + (a - 4) (3 a - 4) + (2 a - 4) (3 a - 4)] = 22 a^{2} - 96 a + 96. \end{matrix}

A két felszín különbsége:

A_{1} - A_{2} = 96 a - 96 = 1056

, azaz

a = 12

cm. Az eredeti téglatest élei 12 cm, 24 cm, 36 cm, térfogata:

V_{1} = 12 \cdot 24 \cdot 36 = 10 368

(

cm^{3}

), a másik téglatest élei 8 cm, 20 cm és 32 cm, ennek térfogata:

V_{2} = 8 \cdot 20 \cdot 32 = 5120

(

cm^{3}

).
A téglatest térfogata így 5248

cm^{3}

-rel csökkent.

3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:

\begin{matrix} \frac{20}{x + y + 2} - \frac{6}{3 x + y - 5} = 1, \frac{12}{x + y} + \frac{21}{3 x + y} = 7. \end{matrix}

Megoldás. A nevező nem lehet 0, így

x + y \neq - 2

3 x + y \neq 5

x + y \neq 0

3 x + y \neq 0

.
Legyen

x + y = a

3 x + y = b

, ekkor az egyenletrendszer a következő lesz:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{20}{a + 2} - \frac{6}{b - 5} & = 1 \\ \frac{12}{a} + \frac{21}{b} & = 7 \end{matrix}} . \end{matrix}

Az első egyenletet

(a + 2) (b - 5)

-tel, a másodikat

a b

-vel szorozva rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} - a + 18 b - 102 & = a b \\ 12 b + 21 a & = 7 a b \end{matrix}} . \end{matrix}

Innen

a = \frac{57 b - 357}{14}

, és

b

-re a

19 b^{2} - 184 b + 357 = 0

egyenletet kapjuk, amelynek egyetlen egész gyöke

b = 7

, ahonnan

a = 3

.
Mivel

x + y = 3

és

3 x + y = 7

, azért

x = 2

y = 1

. Ez a számpár minden feltételnek eleget tesz, így ez az eredeti egyenletrendszer megoldása.

4. Mutassuk meg, hogy egy háromszög oldalaira akkor és csak akkor teljesül az

a^{2} b - b c^{2} + c^{3} = a^{2} c + b^{2} c - b^{3}

összefüggés, ha a háromszög derékszögű, vagy pedig egyenlő szárú.

Megoldás. Rendezzük az összefüggést 0-ra:

\begin{matrix} a^{2} b - a^{2} c + b^{3} - b^{2} c - b c^{2} + c^{3} = 0. \end{matrix}

A tagokat párosítva kiemeléseket végezhetünk:

\begin{matrix} \begin{matrix} a^{2} (b - c) + b^{2} (b - c) - c^{2} (b - c) & = 0, \\ (b - c) (b^{2} + a^{2} - c^{2}) & = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ez a szorzat akkor és csak akkor 0, ha

b - c = 0

vagy

a^{2} + b^{2} - c^{2} = 0

, vagyis a háromszög vagy egyenlő szárú, vagy derékszögű.

5. Az

x^{2} - 6 x + 4 = 0

egyenlet gyökei egy téglalap két oldalának hosszát adják centiméterben. Két nem egybevágó hengernek a tengelymetszete egybevágó ezzel a téglalappal. Határozzuk meg a két henger felszínösszegét és térfogatösszegét.

Megoldás. A feladatot a gyökök kiszámítása nélkül oldjuk meg. A diszkrimináns pozitív, a két gyök szorzata (

x_{1} x_{2} = 4

) és a két gyök összege (

x_{1} + x_{2} = 6

) is pozitív, így két különböző pozitív valós gyöke van a másodfokú egyenletnek. Az egyik henger alapkörének átmérője

x_{1}

, a magassága

x_{2}

, a másik henger alapkörének átmérője

x_{2}

, a magassága

x_{1}

. Írjuk fel a felszínösszeget és a térfogatösszeget, az átalakítások után használjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket:

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{1} + A_{2} & = 2 (\frac{x_{1}}{2}) π (\frac{x_{1}}{2} + x_{2}) + 2 (\frac{x_{2}}{2}) π (\frac{x_{2}}{2} + x_{1}) = π (\frac{x_{1}^{2}}{2} + 2 x_{1} x_{2} + \frac{x_{2}^{2}}{2}) = \\ = π \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} + 2 x_{1} x_{2}}{2} = π \frac{6^{2} + 2 \cdot 4}{2} = 22 π \approx 69, 1 (cm^{2}) . \\ V_{1} + V_{2} & = {(\frac{x_{1}}{2})}^{2} π x_{2} + {(\frac{x_{2}}{2})}^{2} π x_{1} = \frac{π}{4} x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = \frac{π}{4} \cdot 4 \cdot 6 = 6 π \approx 18, 8 (cm^{3}) . \end{matrix} \end{matrix}

6. Négy testvér egy konvex négyszög alakú telket örökölt. A telek szemközti oldalainak felezőpontjait összekötve négy négyszögre osztották az örökséget. Az első három testvér rendre

360

720

és

900 m^{2}

-es telket kapott. Mekkora telek jutott a negyediknek?
A feladat nehezebbnek bizonyult, mint ahogy azt a szerkesztőség gondolta, ezért kitűzzük a pontversenyben (ld. 156. oldal).

7. Igazoljuk, hogy ha

α > 0

β > 0

γ > 0

és

α + β + γ = \frac{π}{2}

, akkor

\begin{matrix} tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1. \end{matrix}

Megoldás. Alakítsuk az egyenlet bal oldalán álló kifejezést:

\begin{matrix} \begin{matrix} tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = tg α tg β + tg γ (tg β + tg α) = \\ = tg α tg β + tg (\frac{π}{2} - (α + β)) (tg α + tg β) = tg α tg β + ctg (α + β) (tg α + tg β) = \\ = tg α tg β + \frac{1}{tg (α + β)} (tg α + tg β) = tg α tg β + \frac{1 - tg α tg β}{tg α + tg β} (tg α + tg β) = \\ = tg α tg β + 1 - tg α tg β = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel bebizonyítottuk a feladat állítását.

8. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

x^{2} + \frac{9 x^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = 40

egyenletet.

Megoldás. Az értelmezési tartomány:

x \neq - 3

. Végezzük el a következő átalakításokat:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} - \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{9 x^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = 40 - \frac{6 x^{2}}{x + 3}, \\ {(x - \frac{3 x}{x + 3})}^{2} = 40 - \frac{6 x^{2}}{x + 3}, {(\frac{x^{2}}{x + 3})}^{2} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} - 40 = 0. \end{matrix} \end{matrix}

\frac{x^{2}}{x + 3}

-ra másodfokú egyenlet, a két gyöke: 4 és

- 10

. Az első esetben

x_{1} = 6

x_{2} = - 2

, a másodikban nem kapunk megoldást.