Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a 2002/8. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):  Mikusi Imre 
Füzet: 2002/december, 524 - 526. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Az ABCD trapézban az A és a D csúcsoknál derékszög van, az AC és a BD átlók merőlegesek egymásra és 4AB=9CD. Határozzuk meg az átlók hosszának az arányát!
 

I. megoldás. Legyenek a trapéz csúcsai A(0;0), B(9a;0), C(4a;m) és D(0;m). Az AC(4a;m) és BD(-9a;m) vektorok merőlegesek, skaláris szorzatuk 0, így -36a2+m2=0. Ezt felhasználva: BD2AC2=81a2+m216a2+m2=117a252a2. Így BDAC=32.
 
II. megoldás. A C csúcson át BD-vel párhuzamosan rajzolt egyenes és AB metszéspontját jelöljük E-vel. Az AEC derékszögű háromszögben a befogótételt fölírva: AC2=4a13a, BD2=EC2=9a13a, amelyekből az előző eredményhez jutunk.
 
2. Oldjuk meg az
x-142+x-124+x-106=x-88+x-610+x-412+x-16p
egyenletet, ahol a p 0-tól különböző valós paraméter.
 

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalából 3-at elvéve:
x-142-1+x-124-1+x-106-1=x-88-1+x-610-1+x-412-1+x-16p.
Ebből az
(x-16)(12+14+16-18-110-112-1p)=(x-16)(73120-1p)=0
egyenlethez jutunk. p=12073 esetén végtelen sok megoldás van, p12073-ra az x=16 érték adódik.
 
3. Írjuk föl annak a körnek az egyenletét, amely átmegy az A(0;9) és a B(7;2) pontokon és érinti az x tengelyt.
 

I. megoldás. A keresett kör középpontja rajta lesz a szakasz felezőmerőlegesén, az x-y=-2 egyenesen. A középpont így (r-2;r).
Ennek az A-tól való távolsága r, így a B koordinátáit helyettesítve
(r-2)2+(r-9)2=r2.
Ebből az r=5 és r=17 értékeket kapjuk.
A keresett körök egyenlete:
(x-3)2+(y-5)2=25,illetve(x-15)2+(y-17)2=289.

 
II. megoldás. Az AB egyenes egyenlete x+y=9, ez az x tengelyt a (9;0) pontban metszi. E pontnak a körre vonatkozó hatványa 2292=36. Ebből az x tengelyen lévő érintési pontok: 9-6=3, illetve 9+6=15.
 
4. Egy gúla alaplapja olyan trapéz, melynek három oldala 6 egység hosszú, a negyedik pedig 12 egységnyi. A gúla oldalélei az alapsíkkal egyenlő szögeket zárnak be. Mekkora ez a szög, ha a test térfogata 162 térfogategység?
 

Megoldás. Legyen az alaplapon AB=12, BC=CD=DA=6, az alaplapon kívüli csúcs E. Húzzunk párhuzamost a C csúcson át AD-vel, ennek AB-vel való metszéspontja legyen T. Az ATCD négyszög rombusz, tehát a trapéz három egybevágó szabályos háromszögből áll, melyek oldala 6 egység. Az E pont vetülete az alapsíkon legyen K. Ekkor a KAE és KBE, illetve a KCE és KDE háromszögek egybevágóak, így K a trapéz köré írt kör középpontja, tehát azonos T-vel.
A trapéz területe 273, így 273m3=162-ből a test m magassága 63. A keresett szög hegyes, értéke így 60.
 
5. Egy háromszög egyik oldalát a szemben fekvő szög harmadoló egyenesei 5, 6 és 9 egységnyi szakaszokra bontják. Határozzuk meg az ezzel az oldallal szembeni szög koszinuszának pontos értékét.
 

Megoldás. Ha az A csúcsból induló szögharmadoló egyenesek a BC oldalt a D és E pontokban metszik, akkor a szögfelezőtétel miatt AB=5x, AD=2y, AE=6x és AC=3y. Az ABE háromszög területét kétféleképpen felírva az
5x2ysinα2+2y6xsinα2=5x6xsin2α2
egyenlethez jutunk. Ebből 11y=30xcosα.
Az ADC háromszög területéből hasonló módon a 15x=6ycosα összefüggéshez jutunk. Ebből yx=7511, majd cosα=1112. A cos3α-ra a 339 értéket kapjuk.
 
6. Adjuk meg a
2sin2002100π-351log325=|x2-2x+1-4|
egyenlet legkisebb pozitív megoldását!
 

Megoldás. Mivel 2002 páros és 3-mal osztva 1 maradékot ad, azért 2002100 is ilyen. Így 2002100 6-tal osztva 4 maradékot ad. Ezért
2sin(-2002100π3)=2sin(-4π3)=351log325=5log253=2512log253=3.
Így az egyenlet bal oldalának az értéke 3. A jobb oldal ||x-1|-4| alakban írható, a 3 értéket négy helyen veszi föl. Közülük a legkisebb pozitív a 2, ez a megoldás.
 
7. Milyen p és q pozitív prímpárokra lesz a
(p2-pq-2q2)x2-3q2x-(2p+0,5)=0
egyenletnek egy valós gyöke?
 

Megoldás. p2-pq-2q2=0 esetén (p-2q)(p+q)=0. A p=2q és p+q=0 esetek nem adnak megoldást. p2-pq-2q20 fennállásakor D=0 szükséges.
D=9q4+4(2p+0,5)(p2-pq-2q2)=9q4+2(4p+1)(p2-pq-2q2)=0
A bal oldal második tagja páros, így q=2 lehet csak. Ezt beírva:
924+2(4p+1)(p2-2p-8)=0,-4p3-7p2-34p+64=0.
Ha egyenlőség van, akkor a bal oldal egyetlen páratlan együtthatójú tagja, -7p2 is páros, így csak p=2 lehetséges és ez valóban megoldás.
 
8. Mely valós számokra értelmezhető a
2-x+1-0,5logx(x2+x)
kifejezés?
 

Megoldás. 2-x+1-0,5logx(x2+x)0 szükséges. A számláló nemnegatív és a nevező pozitív, az alap 1-nél nagyobb esetből az 1<x2-t kapjuk. A számláló nemnegatív és a nevező pozitív, 1-nél kisebb alap esetén a 0<x<-1+52 intervallum adódik.
A számláló nempozitív, a nevező negatív esetekből nem kapunk megoldást.