Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2002/8. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):	Mikusi Imre
Füzet:	2002/december, 524 - 526. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az $A B C D$ trapézban az $A$ és a $D$ csúcsoknál derékszög van, az $A C$ és a $B D$ átlók merőlegesek egymásra és $4 A B = 9 C D$ . Határozzuk meg az átlók hosszának az arányát!

I. megoldás. Legyenek a trapéz csúcsai

A (0; 0)

B (9 a; 0)

C (4 a; m)

és

D (0; m)

. Az

\vec{A C} (4 a; m)

és

\vec{B D} (- 9 a; m)

vektorok merőlegesek, skaláris szorzatuk 0, így

- 36 a^{2} + m^{2} = 0

. Ezt felhasználva:

\frac{B D^{2}}{A C^{2}} = \frac{81 a^{2} + m^{2}}{16 a^{2} + m^{2}} = \frac{117 a^{2}}{52 a^{2}}

. Így

\frac{B D}{A C} = \frac{3}{2}

II. megoldás. A

C

csúcson át

B D

-vel párhuzamosan rajzolt egyenes és

A B

metszéspontját jelöljük

E

-vel. Az

A E C

derékszögű háromszögben a befogótételt fölírva:

A C^{2} = 4 a \cdot 13 a

B D^{2} = E C^{2} = 9 a \cdot 13 a

, amelyekből az előző eredményhez jutunk.

2. Oldjuk meg az

\begin{matrix} \frac{x - 14}{2} + \frac{x - 12}{4} + \frac{x - 10}{6} = \frac{x - 8}{8} + \frac{x - 6}{10} + \frac{x - 4}{12} + \frac{x - 16}{p} \end{matrix}

egyenletet, ahol a

p

0

-tól különböző valós paraméter.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalából 3-at elvéve:

\begin{matrix} \frac{x - 14}{2} - 1 + \frac{x - 12}{4} - 1 + \frac{x - 10}{6} - 1 = \frac{x - 8}{8} - 1 + \frac{x - 6}{10} - 1 + \frac{x - 4}{12} - 1 + \frac{x - 16}{p} . \end{matrix}

Ebből az

\begin{matrix} (x - 16) \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} - \frac{1}{p}) = (x - 16) (\frac{73}{120} - \frac{1}{p}) = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk.

p = \frac{120}{73}

esetén végtelen sok megoldás van,

p \neq \frac{120}{73}

-ra az

x = 16

érték adódik.

3. Írjuk föl annak a körnek az egyenletét, amely átmegy az

A (0; 9)

és a

B (7; 2)

pontokon és érinti az

x

tengelyt.

I. megoldás. A keresett kör középpontja rajta lesz a szakasz felezőmerőlegesén, az

x - y = - 2

egyenesen. A középpont így

(r - 2; r)

.
Ennek az

A

-tól való távolsága

r

, így a

B

koordinátáit helyettesítve

\begin{matrix} {(r - 2)}^{2} + {(r - 9)}^{2} = r^{2} . \end{matrix}

Ebből az

r = 5

és

r = 17

értékeket kapjuk.
A keresett körök egyenlete:

\begin{matrix} {(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25, illetve {(x - 15)}^{2} + {(y - 17)}^{2} = 289. \end{matrix}

II. megoldás. Az

A B

egyenes egyenlete

x + y = 9

, ez az

x

tengelyt a

(9; 0)

pontban metszi. E pontnak a körre vonatkozó hatványa

2 \cdot \sqrt[]{2} \cdot 9 \cdot \sqrt[]{2} = 36

. Ebből az

x

tengelyen lévő érintési pontok:

9 - 6 = 3

, illetve

9 + 6 = 15

4. Egy gúla alaplapja olyan trapéz, melynek három oldala 6 egység hosszú, a negyedik pedig

12

egységnyi. A gúla oldalélei az alapsíkkal egyenlő szögeket zárnak be. Mekkora ez a szög, ha a test térfogata

162

térfogategység?

Megoldás. Legyen az alaplapon

A B = 12

B C = C D = D A = 6

, az alaplapon kívüli csúcs

E

. Húzzunk párhuzamost a

C

csúcson át

A D

-vel, ennek

A B

-vel való metszéspontja legyen

T

. Az

A T C D

négyszög rombusz, tehát a trapéz három egybevágó szabályos háromszögből áll, melyek oldala 6 egység. Az

E

pont vetülete az alapsíkon legyen

K

. Ekkor a

K A E

és

K B E

, illetve a

K C E

és

K D E

háromszögek egybevágóak, így

K

a trapéz köré írt kör középpontja, tehát azonos

T

-vel.
A trapéz területe

27 \sqrt[]{3}

, így

\frac{27 \sqrt[]{3} \cdot m}{3} = 162

-ből a test

m

magassága

6 \sqrt[]{3}

. A keresett szög hegyes, értéke így

60^{\circ}

5. Egy háromszög egyik oldalát a szemben fekvő szög harmadoló egyenesei

5

6

és

9

egységnyi szakaszokra bontják. Határozzuk meg az ezzel az oldallal szembeni szög koszinuszának pontos értékét.

Megoldás. Ha az

A

csúcsból induló szögharmadoló egyenesek a

B C

oldalt a

D

és

E

pontokban metszik, akkor a szögfelezőtétel miatt

A B = 5 x

A D = 2 y

A E = 6 x

és

A C = 3 y

. Az

A B E

háromszög területét kétféleképpen felírva az

\begin{matrix} \frac{5 x \cdot 2 y \cdot sin α}{2} + \frac{2 y \cdot 6 x \cdot sin α}{2} = \frac{5 x \cdot 6 x \cdot sin 2 α}{2} \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ebből

11 y = 30 x \cdot cos α

.
Az

A D C

háromszög területéből hasonló módon a

15 x = 6 y \cdot cos α

összefüggéshez jutunk. Ebből

\frac{y}{x} = \sqrt[]{\frac{75}{11}}

, majd

cos α = \sqrt[]{\frac{11}{12}}

. A

cos 3 α

-ra a

\frac{\sqrt[]{33}}{9}

értéket kapjuk.

6. Adjuk meg a

\begin{matrix} 2 sin \frac{2002^{100} \cdot π}{- 3} \cdot 5^{\frac{1}{log_{3} 25}} = | \sqrt[]{x^{2} - 2 x + 1} - 4 | \end{matrix}

egyenlet legkisebb pozitív megoldását!

Megoldás. Mivel 2002 páros és 3-mal osztva 1 maradékot ad, azért

2002^{100}

is ilyen. Így

2002^{100}

6-tal osztva 4 maradékot ad. Ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 sin (- 2002^{100} \frac{π}{3}) = 2 sin (- \frac{4 π}{3}) = \sqrt[]{3} \\ 5^{\frac{1}{log_{3} 25}} = 5^{log_{25} 3} = 25^{\frac{1}{2} log_{25} 3} = \sqrt[]{3} . \end{matrix} \end{matrix}

Így az egyenlet bal oldalának az értéke 3. A jobb oldal

| | x - 1 | - 4 |

alakban írható, a 3 értéket négy helyen veszi föl. Közülük a legkisebb pozitív a 2, ez a megoldás.

7. Milyen

p

és

q

pozitív prímpárokra lesz a

\begin{matrix} (p^{2} - p q - 2 q^{2}) x^{2} - 3 q^{2} x - (2 p + 0, 5) = 0 \end{matrix}

egyenletnek egy valós gyöke?

Megoldás.

p^{2} - p q - 2 q^{2} = 0

esetén

(p - 2 q) (p + q) = 0

. A

p = 2 q

és

p + q = 0

esetek nem adnak megoldást.

p^{2} - p q - 2 q^{2} \neq 0

fennállásakor

D = 0

szükséges.

\begin{matrix} D = 9 q^{4} + 4 (2 p + 0, 5) (p^{2} - p q - 2 q^{2}) = 9 q^{4} + 2 (4 p + 1) (p^{2} - p q - 2 q^{2}) = 0 \end{matrix}

A bal oldal második tagja páros, így

q = 2

lehet csak. Ezt beírva:

\begin{matrix} 9 \cdot 2^{4} + 2 (4 p + 1) (p^{2} - 2 p - 8) = 0, - 4 p^{3} - 7 p^{2} - 34 p + 64 = 0. \end{matrix}

Ha egyenlőség van, akkor a bal oldal egyetlen páratlan együtthatójú tagja,

- 7 p^{2}

is páros, így csak

p = 2

lehetséges és ez valóban megoldás.

8. Mely valós számokra értelmezhető a

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{2^{- x + 1} - 0, 5}{log_{x} (x^{2} + x)}} \end{matrix}

kifejezés?

Megoldás.

\frac{2^{- x + 1} - 0, 5}{log_{x} (x^{2} + x)} \geq 0

szükséges. A számláló nemnegatív és a nevező pozitív, az alap 1-nél nagyobb esetből az

1 < x \leq 2

-t kapjuk. A számláló nemnegatív és a nevező pozitív, 1-nél kisebb alap esetén a

0 < x < \frac{- 1 + \sqrt[]{5}}{2}

intervallum adódik.
A számláló nempozitív, a nevező negatív esetekből nem kapunk megoldást.