A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az trapézban az és a csúcsoknál derékszög van, az és a átlók merőlegesek egymásra és . Határozzuk meg az átlók hosszának az arányát! I. megoldás. Legyenek a trapéz csúcsai , , és . Az és vektorok merőlegesek, skaláris szorzatuk 0, így . Ezt felhasználva: . Így .
II. megoldás. A csúcson át -vel párhuzamosan rajzolt egyenes és metszéspontját jelöljük -vel. Az derékszögű háromszögben a befogótételt fölírva: , , amelyekből az előző eredményhez jutunk.
2. Oldjuk meg az | | egyenletet, ahol a -tól különböző valós paraméter. Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalából 3-at elvéve: | | Ebből az | | egyenlethez jutunk. esetén végtelen sok megoldás van, -ra az érték adódik.
3. Írjuk föl annak a körnek az egyenletét, amely átmegy az és a pontokon és érinti az tengelyt. I. megoldás. A keresett kör középpontja rajta lesz a szakasz felezőmerőlegesén, az egyenesen. A középpont így . Ennek az -tól való távolsága , így a koordinátáit helyettesítve Ebből az és értékeket kapjuk. A keresett körök egyenlete: | |
II. megoldás. Az egyenes egyenlete , ez az tengelyt a pontban metszi. E pontnak a körre vonatkozó hatványa . Ebből az tengelyen lévő érintési pontok: , illetve .
4. Egy gúla alaplapja olyan trapéz, melynek három oldala 6 egység hosszú, a negyedik pedig egységnyi. A gúla oldalélei az alapsíkkal egyenlő szögeket zárnak be. Mekkora ez a szög, ha a test térfogata térfogategység? Megoldás. Legyen az alaplapon , , az alaplapon kívüli csúcs . Húzzunk párhuzamost a csúcson át -vel, ennek -vel való metszéspontja legyen . Az négyszög rombusz, tehát a trapéz három egybevágó szabályos háromszögből áll, melyek oldala 6 egység. Az pont vetülete az alapsíkon legyen . Ekkor a és , illetve a és háromszögek egybevágóak, így a trapéz köré írt kör középpontja, tehát azonos -vel. A trapéz területe , így -ből a test magassága . A keresett szög hegyes, értéke így .
5. Egy háromszög egyik oldalát a szemben fekvő szög harmadoló egyenesei , és egységnyi szakaszokra bontják. Határozzuk meg az ezzel az oldallal szembeni szög koszinuszának pontos értékét. Megoldás. Ha az csúcsból induló szögharmadoló egyenesek a oldalt a és pontokban metszik, akkor a szögfelezőtétel miatt , , és . Az háromszög területét kétféleképpen felírva az | | egyenlethez jutunk. Ebből . Az háromszög területéből hasonló módon a összefüggéshez jutunk. Ebből , majd . A -ra a értéket kapjuk.
6. Adjuk meg a | | egyenlet legkisebb pozitív megoldását! Megoldás. Mivel 2002 páros és 3-mal osztva 1 maradékot ad, azért is ilyen. Így 6-tal osztva 4 maradékot ad. Ezért | | Így az egyenlet bal oldalának az értéke 3. A jobb oldal alakban írható, a 3 értéket négy helyen veszi föl. Közülük a legkisebb pozitív a 2, ez a megoldás.
7. Milyen és pozitív prímpárokra lesz a | | egyenletnek egy valós gyöke? Megoldás. esetén . A és esetek nem adnak megoldást. fennállásakor szükséges. | | A bal oldal második tagja páros, így lehet csak. Ezt beírva: | | Ha egyenlőség van, akkor a bal oldal egyetlen páratlan együtthatójú tagja, is páros, így csak lehetséges és ez valóban megoldás.
8. Mely valós számokra értelmezhető a kifejezés? Megoldás. szükséges. A számláló nemnegatív és a nevező pozitív, az alap 1-nél nagyobb esetből az -t kapjuk. A számláló nemnegatív és a nevező pozitív, 1-nél kisebb alap esetén a intervallum adódik. A számláló nempozitív, a nevező negatív esetekből nem kapunk megoldást. |