Cím: Mérőlapok felvételire
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2002/április, 199. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Fodor Géza matematikus, egyetemi tanár emlékére
 

Rábai Imre
 


1. Egy téglalap oldalai 15,6 és 18 egység hosszúak. Írjunk a téglalapba olyan téglalapot, amelynek egyik oldala a másik oldal háromszorosa és az adott téglalap minden oldalára pontosan egy csúcsa illeszkedik a beírt téglalapnak. Mekkorák a beírt téglalap oldalai?
 

2. a) Igazoljuk, hogy minden háromszögben ctgαsinγ+cosγ=ba, ahol α az a, γ a c oldallal szemközti szög.
b) Egy háromszögben b=2a és γ=60. Számítsuk ki a háromszög másik két szögét!
 

3. Az (an) mértani sorozat tagjaira a1+a3+a5=133 és 1a1+1a3+1a5=1331296. Írjuk fel a sorozat első öt tagját!
 

4. Egy bankba 3 évre elhelyeztünk 40000 forintot kamatos kamatra. Az első évben a bank 10%-os kamatot számolt el, a második évben a kamatlábat p%-kal növelte, a harmadik évben újabb p%-kal növelte. Ily módon a harmadik év végén 2939,20 Ft-tal többet fizettek ki, mint amennyit a három éven át a 10%-os kamatláb mellett kellett volna. Számítsuk ki p értékét!
 

5. Az (x,y) síkbeli ABCD négyszög A csúcsa az origóban van, B csúcsa az y tengelyen, C csúcsa az első síknegyedben, D csúcsa az x tengely pozitív felén helyezkedik el. A BC oldal egyenesének egyenlete: 2x+y=12. A CD oldal merőleges a BC oldalra. A négyszög területe 31 területegység. Határozzuk meg a B, C és D csúcspontok koordinátáit!
 

6. Egy forgáscsonkakúp alap-, illetve fedőkörének sugara R illetve r (R>r). Egy, az alapokkal párhuzamos sík két olyan részre osztja a csonkakúpot, hogy a nagyobb sugarú résznél keletkező csonkakúp térfogata harmada az eredeti csonkakúp térfogatának. Fejezzük ki R-rel és r-rel a síkmetszet sugarát!
 

7. Igazoljuk, hogy a (sinx-3cosx)cos4x=2 egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.
 

8. Tekintsük a 4x+2(n+1)2x+n2=8 egyenletet, ahol az n paraméter egész szám (nZ).
a) Milyen n esetén van az egyenletnek két különböző megoldása a valós számok halmazán?
 
b) Milyen n esetén van az egyenletnek pontosan egy megoldása?
Adjuk meg a lehetséges gyökök értékét is!