Cím:	Mérőlapok felvételire
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2002/április, 199. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Fodor Géza matematikus, egyetemi tanár emlékére   Rábai Imre   1. Egy téglalap oldalai 15,6 és 18 egység hosszúak. Írjunk a téglalapba olyan téglalapot, amelynek egyik oldala a másik oldal háromszorosa és az adott téglalap minden oldalára pontosan egy csúcsa illeszkedik a beírt téglalapnak. Mekkorák a beírt téglalap oldalai?   2. $a)$ Igazoljuk, hogy minden háromszögben $\text{ctg}\alpha \text{sin}\gamma +\text{cos}\gamma =\frac{b}{a}\mathrm{,}$ ahol $\alpha$ az $a$, $\gamma$ a $c$ oldallal szemközti szög. $b)$ Egy háromszögben $b=2a$ és $\gamma ={60}^{\circ }$. Számítsuk ki a háromszög másik két szögét!   3. Az $\left(a_n\right)$ mértani sorozat tagjaira $a_1+a_3+a_5=133$ és $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}=\frac{133}{1296}\mathrm{.}$ Írjuk fel a sorozat első öt tagját!   4. Egy bankba $3$ évre elhelyeztünk $40000$ forintot kamatos kamatra. Az első évben a bank $10\%$-os kamatot számolt el, a második évben a kamatlábat $p\%$-kal növelte, a harmadik évben újabb $p\%$-kal növelte. Ily módon a harmadik év végén $\text{2939,20 Ft}$-tal többet fizettek ki, mint amennyit a három éven át a $10\%$-os kamatláb mellett kellett volna. Számítsuk ki $p$ értékét!   5. Az $\left(x\mathrm{,}y\right)$ síkbeli $ABCD$ négyszög $A$ csúcsa az origóban van, $B$ csúcsa az $y$ tengelyen, $C$ csúcsa az első síknegyedben, $D$ csúcsa az $x$ tengely pozitív felén helyezkedik el. A $BC$ oldal egyenesének egyenlete: $2x+y=12$. A $CD$ oldal merőleges a $BC$ oldalra. A négyszög területe $31$ területegység. Határozzuk meg a $B$, $C$ és $D$ csúcspontok koordinátáit!   6. Egy forgáscsonkakúp alap-, illetve fedőkörének sugara $R$ illetve $r$ $\left(R>r\right)$. Egy, az alapokkal párhuzamos sík két olyan részre osztja a csonkakúpot, hogy a nagyobb sugarú résznél keletkező csonkakúp térfogata harmada az eredeti csonkakúp térfogatának. Fejezzük ki $R$-rel és $r$-rel a síkmetszet sugarát!   7. Igazoljuk, hogy a $\left(\text{sin}x-\sqrt[]{3}\text{cos}x\right)\cdot \text{cos}4x=2$ egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.   8. Tekintsük a $4^x+2\left(n+1\right)\cdot 2^x+n^2=8$ egyenletet, ahol az $n$ paraméter egész szám $\left(n\in \text{Z}\right)$. $a)$ Milyen $n$ esetén van az egyenletnek két különböző megoldása a valós számok halmazán?   $b)$ Milyen $n$ esetén van az egyenletnek pontosan egy megoldása? Adjuk meg a lehetséges gyökök értékét is!