Cím: Mérőlapok felvételire
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2002/március, 149. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Tekintsük az x2+4kx+4(2k-1)=0 egyenletet, ahol k valós paraméter. Igazoljuk, hogy az egyenletnek minden valós k esetén van valós megoldása. Oldjuk meg az egyenletet, ha a gyökök négyzetének összege a lehető legkevesebb.

2. Igazoljuk, hogy egy rombusz oldala pontosan akkor (akkor és csak akkor) mértani közepe a rombusz átlóinak, ha a rombusz hegyesszöge 30.

3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:
a)15+2x3+13-2x3=4;b)(logx3logx33)+logx813=0;c)cos4x+cos4(x-π4)=14.


4. Az ABC háromszögben AC=5,8, BC=5 egység, az AB oldalhoz tartozó magasság mc=4 egység. Számítsa ki a háromszög köré írt kör sugarát és a háromszög területét.

5. Igazoljuk, hogy minden n pozitív egész számra
a)36n+103n osztható 11-gyel;
b)42n-33n-7 osztható 84-gyel!


6. a) Tekintsük azt az f:RR, xf(x) függvényt, ahol
f(x)=(ax+b)2+(cx+d)2,
ahol a,b,c,dR és ac0. Az f függvény melyik x helyen veszi fel a legkisebb értékét, és mennyi ez a legkisebb érték?
 
b) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyre a g(x)=11+(tgx)(tg2x) értelmezhető? Tekintsük az ezen a halmazon értelmezett xg(x) függvényt. Felveszi-e a g függvény a legnagyobb, illetve a legkisebb értéket? Ha felveszi, akkor melyik x helyen veszi fel és mennyi a függvény szélsőértéke?

7. Igazoljuk, hogy az A(1;-1), B(3;3) és C(4;5) pontok egy egyenesre illeszkednek. Milyen arányban osztja a B pont az AC szakaszt? Mi azon P pontok halmaza és annak egyenlete, amelyekre APPB=ABBC?

8. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a
cos2x+(1-2siny)cosx+1-siny=0
kétismeretlenes egyenletet.