A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Tekintsük az egyenletet, ahol valós paraméter. Igazoljuk, hogy az egyenletnek minden valós esetén van valós megoldása. Oldjuk meg az egyenletet, ha a gyökök négyzetének összege a lehető legkevesebb.
2. Igazoljuk, hogy egy rombusz oldala pontosan akkor (akkor és csak akkor) mértani közepe a rombusz átlóinak, ha a rombusz hegyesszöge .
3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: | |
4. Az háromszögben , egység, az oldalhoz tartozó magasság egység. Számítsa ki a háromszög köré írt kör sugarát és a háromszög területét.
5. Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számra a) | osztható -gyel; |
b) | osztható 84-gyel! |
6. a) Tekintsük azt az , függvényt, ahol ahol és . Az függvény melyik helyen veszi fel a legkisebb értékét, és mennyi ez a legkisebb érték? b) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyre a értelmezhető? Tekintsük az ezen a halmazon értelmezett függvényt. Felveszi-e a függvény a legnagyobb, illetve a legkisebb értéket? Ha felveszi, akkor melyik helyen veszi fel és mennyi a függvény szélsőértéke?
7. Igazoljuk, hogy az , és pontok egy egyenesre illeszkednek. Milyen arányban osztja a pont az szakaszt? Mi azon pontok halmaza és annak egyenlete, amelyekre ?
8. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a | | kétismeretlenes egyenletet. |