Kezdőlap


Cím:	Mérőlapok felvételire
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2002/március, 149. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Tekintsük az $x^{2} + 4 k x + 4 (2 k - 1) = 0$ egyenletet, ahol $k$ valós paraméter. Igazoljuk, hogy az egyenletnek minden valós $k$ esetén van valós megoldása. Oldjuk meg az egyenletet, ha a gyökök négyzetének összege a lehető legkevesebb.

2. Igazoljuk, hogy egy rombusz oldala pontosan akkor (akkor és csak akkor) mértani közepe a rombusz átlóinak, ha a rombusz hegyesszöge $30^{\circ}$ .

3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:

\begin{matrix} \begin{matrix} a) \sqrt[3]{15 + 2 x} + \sqrt[3]{13 - 2 x} = 4; b) (log_{x} 3 \cdot log_{\frac{x}{3}} 3) + log_{\frac{x}{81}} 3 = 0; \\ c) cos^{4} x + cos^{4} (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4} . \end{matrix} \end{matrix}

4. Az

A B C

háromszögben

A C = 5, 8

B C = 5

egység, az

A B

oldalhoz tartozó magasság

m_{c} = 4

egység. Számítsa ki a háromszög köré írt kör sugarát és a háromszög területét.

5. Igazoljuk, hogy minden

n

pozitív egész számra

a)	$36^{n} + 10 \cdot 3^{n}$ osztható $11$ -gyel;

b)	$4^{2 n} - 3^{3 n} - 7$ osztható 84-gyel!

6. a) Tekintsük azt az

f : R \to R

x \mapsto f (x)

függvényt, ahol

\begin{matrix} f (x) = {(a x + b)}^{2} + {(c x + d)}^{2}, \end{matrix}

ahol

a, b, c, d \in R

és

a c \neq 0

. Az

f

függvény melyik

x

helyen veszi fel a legkisebb értékét, és mennyi ez a legkisebb érték?

b) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyre a

g (x) = \frac{1}{1 + (tg x) (tg 2 x)}

értelmezhető? Tekintsük az ezen a halmazon értelmezett

x \mapsto g (x)

függvényt. Felveszi-e a

g

függvény a legnagyobb, illetve a legkisebb értéket? Ha felveszi, akkor melyik

x

helyen veszi fel és mennyi a függvény szélsőértéke?

7. Igazoljuk, hogy az

A (1; - 1)

B (3; 3)

és

C (4; 5)

pontok egy egyenesre illeszkednek. Milyen arányban osztja a

B

pont az

A C

szakaszt? Mi azon

P

pontok halmaza és annak egyenlete, amelyekre

\frac{A P}{P B} = \frac{A B}{B C}

?

8. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a

\begin{matrix} cos 2 x + (1 - 2 sin y) cos x + 1 - sin y = 0 \end{matrix}

kétismeretlenes egyenletet.