Cím: Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2001/november, 471. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Kokits Zsigmond matematikus, egyetemi docens emlékére
 

 
1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán.

a)  x-3x-2+10x+2=444-x2; b)  x-13x-2+10x+2=444-x2;
c)  x-4x-2+10x+2=444-x2; d)  x-8x-2+10x+2=444-x2.

 

 
2. Egy téglalap egyik oldalának hossza a másik oldal hosszának négyszerese. Határozzuk meg a téglalap területe és a téglalap szögfelezői által határolt négyszög területének arányát, valamint a téglalap átlója és a szögfelelzők által határolt négyszög oldalainak arányát.
 
3. Határozzuk meg az f(x)=3x3+11x-34x2+4x-12 kifejezés legkisebb és legnagyobb értékét a [-4;-1] intervallumon.

 
4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a  3tg(x+3π2)=tg2x  egyenletet.
 
5. Igazoljuk, hogy
Sn=46+513+...+(n+3)(7n-1)=n6(14n2+81n+49),
ahol n tetszőleges pozitív egész szám.

 
6. a) Az x2+px+q=0 (p, qR) egyenlet diszkriminánsa D0, az egyenlet gyökei x1 és x2. Igazoljuk, hogy (x1-x2)2=D.
6.b) Az x2-2ax+2a2-3a=0 (aR) egyenlet valós gyökei x1 és x2. Az a paraméter mely értékeinél veszi fel (x1-x2)2 a legnagyobb értékét? Mennyi ez a legnagyobb érték?
 
7. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A(0;16), B(0;0), C(3;0). Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P0(-6;0) ponton, és két egyenlő területű részre osztja az ABC háromszög területét.
 
8. a) Igazoljuk, hogy ha xy+yz+zx=1 (x, y, zR), akkor x2+y2+z21.
6.b) Tekintsük azokat a téglatesteket, amelyeknek a testátlója 2 egység hosszú. E téglatestek közül melyiknek legnagyobb a felszíne, és mennyi ez a legnagyobb felszín?
Rábai Imre