Kezdőlap


Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2001/november, 471. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kokits Zsigmond matematikus, egyetemi docens emlékére

1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán.

a) $\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{44}{4 - x^{2}}$ ;	b) $\frac{x - 13}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{44}{4 - x^{2}}$ ;
c) $\frac{x - 4}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{44}{4 - x^{2}}$ ;	d) $\frac{x - 8}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{44}{4 - x^{2}}$ .

2. Egy téglalap egyik oldalának hossza a másik oldal hosszának négyszerese. Határozzuk meg a téglalap területe és a téglalap szögfelezői által határolt négyszög területének arányát, valamint a téglalap átlója és a szögfelelzők által határolt négyszög oldalainak arányát.

3. Határozzuk meg az

f (x) = \frac{3 x^{3} + 11 x - 34}{x^{2} + 4 x - 12}

kifejezés legkisebb és legnagyobb értékét a

[- 4; - 1]

intervallumon.

4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a

3 tg (x + \frac{3 π}{2}) = tg 2 x

egyenletet.

5. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} S_{n} = 4 \cdot 6 + 5 \cdot 13 + ... + (n + 3) (7 n - 1) = \frac{n}{6} (14 n^{2} + 81 n + 49), \end{matrix}

ahol

n

tetszőleges pozitív egész szám.

6. a) Az

x^{2} + p x + q = 0

(

p

q \in R

) egyenlet diszkriminánsa

D \geq 0

, az egyenlet gyökei

x_{1}

és

x_{2}

. Igazoljuk, hogy

{(x_{1} - x_{2})}^{2} = D

b) Az

x^{2} - 2 a x + 2 a^{2} - 3 a = 0

(

a \in R

) egyenlet valós gyökei

x_{1}

és

x_{2}

. Az

a

paraméter mely értékeinél veszi fel

{(x_{1} - x_{2})}^{2}

a legnagyobb értékét? Mennyi ez a legnagyobb érték?

7. Az

A B C

háromszög csúcsainak koordinátái:

A (0; 16)

B (0; 0)

C (3; 0)

. Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a

P_{0} (- 6; 0)

ponton, és két egyenlő területű részre osztja az

A B C

háromszög területét.

8. a) Igazoljuk, hogy ha

x y + y z + z x = 1

(

x

y

z \in R

), akkor

x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 1

b) Tekintsük azokat a téglatesteket, amelyeknek a testátlója 2 egység hosszú. E téglatestek közül melyiknek legnagyobb a felszíne, és mennyi ez a legnagyobb felszín?

Rábai Imre