Cím: Feladatok felvételi előkészítő szakkörre III.
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2001/március, 147. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Firbáss Oszkár igazgató úr (Szeged, Baross Gábor Gimnázium) emlékére
 

 
1. Igazolja, hogy minden háromszögben
16T2=4a2b2-(a2+b2-c2)2,
ahol a, b, c a háromszög oldalai, T pedig a háromszög területe.
Hogyan kaphatjuk ebből az állításból a Heron-képletet? (T2=s(s-a)(s-b)(s-c), ahol 2s=a+b+c.)
 
2. Oldja meg a valós számok halmazán a
x3+2x-33=12(x-1)3
egyenletet!
 
3. Igazolja a következő azonosságot:
logaxlogbx+logbxlogcx+logcxlogax=logaxlogbxlogcxlogxabc.
(a, b, c és x 1-től különböző pozitív valós számok.)
 
4. Igazolja, hogy minden valós x-re léteznek azok a háromszögek, amelyek oldalai
a=x2-x+1,b=x2+x+1,c=4x2+3.
Igazolja, hogy minden ilyen háromszög területe egyenlő, és a terület független x-től. (Felhasználhatja az 1. feladat állítását.)
Rábai Imre