Cím: A januári szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2001/február, 89 - 90. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. a) Ha (an) számtani sorozat, akkor an=a1+(n-1)d, azaz an=(d)n+(a1-d);
ha an=An+B, akkor an-1=A(n-1)+B, és így an-an-1=A, tehát a sorozat számtani.
b) Ha (an) számtani sorozat, akkor Sn=n2(2a1+(n-1)d), azaz valóban fennáll, hogy Sn=(d2)n2+(a1-d2)n;
ha pedig Sn=Kn2+Ln, akkor Sn-1=K(n-1)2+L(n-1), és így an=Sn-Sn-1=(2K)n+(L-K), azaz a sorozat valóban számtani.
 
2. Dolgozhatunk vektorokkal. Legyen AB=a (|a|=a), BC=b (|b|=b), CD=c (|c|=c), DA=d (|d|=d), AC=e (|e|=e), BD=f (|f|=f); ekkor a+b+c+d=0, e=a+b, e=-c-d; f=b+c, f=-a-d, e2=a2+2ab+b2, e2=c2+2cd+d2, f2=b2+2bc+c2, f2=a2+2ad+d2.
Ezekből, figyelembe véve, hogy b+d=-(a+c):
2(e2+f2)=2(a2+b2+c2+d2)+2(a+c)(b+d),e2+f2=b2+d2+a2+c2-(a+c)2,e2+f2=b2+d2-2ac.
Ha a négyszög trapéz, akkor az a és a c vektorok párhuzamosak és ellentétes az irányításuk, tehát
ac=|a||c|cos180=-|a||c|=-ac,
tehát
e2+f2=b2+d2+2ac.


Ha e2+f2=b2+d2+2ac, akkor mivel a fentiek szerint e2+f2=b2+d2-2ac, 2ac=-2ac, azaz 2ac=-2|a||c|cosφ, ahol φ az a és a c vektorok szöge. Most
2ac=-2accosφ,cosφ=-1,φ=180,
tehát ac, azaz a négyszög valóban trapéz.
 
3. Ha egy egyenlő szárú háromszög alapja x, az alapon fekvő szög α, akkor a magassága m=12xtgα, területe T=12xx2tgα, T=x24tgα.
Ennek alkalmazásával:
TABC+TA1BC=12bcsinα+14a2tgα=14(tgα)(a2+2bccosα),TAB1C+TABC1=14(tgα)(b2+c2).
A koszinusztétel szerint a2+2bccosα=b2+c2, tehát igaz az állítás.
 
4. Ismeretes, hogy 1+2+3+...+n=n(n+1)2 és 12+22+32+...+n2=16n(n+1)(2n+1).
2+7+14+...+(n2+2n-1)==(12+21-1)+(22+22-1)+(32+23-1)+...+(n2+2n-1)==(12+22+32+...+n2)+2(1+2+3+...+n)-n1==16n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)2-n=n6(2n2+9n+1).

Rábai Imre