Cím:	A januári szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2001/február, 89 - 90. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. a) Ha $\left(a_n\right)$ számtani sorozat, akkor $a_n=a_1+\left(n-1\right)d$, azaz $a_n=\left(d\right)n+\left(a_1-d\right)$; ha $a_n=An+B$, akkor $a_{n-1}=A\left(n-1\right)+B$, és így $a_n-a_{n-1}=A$, tehát a sorozat számtani. b) Ha $\left(a_n\right)$ számtani sorozat, akkor $S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)$, azaz valóban fennáll, hogy $S_n=\left(\frac{d}{2}\right)n^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$; ha pedig $S_n=K{n}^2+Ln$, akkor $S_{n-1}=K{\left(n-1\right)}^2+L\left(n-1\right)$, és így $a_n=S_n-S_{n-1}=\left(2K\right)n+\left(L-K\right)$, azaz a sorozat valóban számtani.   2. Dolgozhatunk vektorokkal. Legyen $\overrightarrow{AB}=\text{a}$ ($|\text{a}|=a$), $\overrightarrow{BC}=\text{b}$ ($|\text{b}|=b$), $\overrightarrow{CD}=\text{c}$ ($|\text{c}|=c$), $\overrightarrow{DA}=\text{d}$ ($|\text{d}|=d$), $\overrightarrow{AC}=\text{e}$ ($|\text{e}|=e$), $\overrightarrow{BD}=\text{f}$ ($|\text{f}|=f$); ekkor $\text{a}+\text{b}+\text{c}+\text{d}=\text{0}$, $\text{e}=\text{a}+\text{b}$, $\text{e}=-\text{c}-\text{d}$; $\text{f}=\text{b}+\text{c}$, $\text{f}=-\text{a}-\text{d}$, ${\text{e}}^2={\text{a}}^2+2\text{ab}+{\text{b}}^2$, ${\text{e}}^2={\text{c}}^2+2\text{cd}+{\text{d}}^2$, ${\text{f}}^2={\text{b}}^2+2\text{bc}+{\text{c}}^2$, ${\text{f}}^2={\text{a}}^2+2\text{ad}+{\text{d}}^2$. Ezekből, figyelembe véve, hogy $\text{b}+\text{d}=-\left(\text{a}+\text{c}\right)$: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2\left({\text{e}}^2+{\text{f}}^2\right)=2\left({\text{a}}^2+{\text{b}}^2+{\text{c}}^2+{\text{d}}^2\right)+2\left(\text{a}+\text{c}\right)\left(\text{b}+\text{d}\right)\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle {\text{e}}^2+{\text{f}}^2={\text{b}}^2+{\text{d}}^2+{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\left(\text{a}+\text{c}\right)}^2\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle {\text{e}}^2+{\text{f}}^2={\text{b}}^2+{\text{d}}^2-2\text{ac}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Ha a négyszög trapéz, akkor az $\text{a}$ és a $\text{c}$ vektorok párhuzamosak és ellentétes az irányításuk, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{ac}=|\text{a}||\text{c}|\text{cos}{180}^{\circ }=-|\text{a}||\text{c}|=-ac\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle e^2+f^2=b^2+d^2+2ac\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $e^2+f^2=b^2+d^2+2ac$, akkor mivel a fentiek szerint ${\text{e}}^2+{\text{f}}^2=\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}+{\text{d}}^2-2\text{ac}$, $2ac=-2\text{a}\text{c}$, azaz $2ac=-2|\text{a}|\cdot |\text{c}|\text{cos}\phi$, ahol $\phi$ az $\text{a}$ és a $\text{c}$ vektorok szöge. Most $\begin{array}{c}{\displaystyle 2ac=-2ac\text{cos}\phi \mathrm{,}\text{cos}\phi =-\mathrm{1,}\phi ={180}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\text{a}\Vert \text{c}$, azaz a négyszög valóban trapéz.   3. Ha egy egyenlő szárú háromszög alapja $x$, az alapon fekvő szög $\alpha$, akkor a magassága $m=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha$, területe $T=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{x}{2}\cdot \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha$, $T=\frac{x^2}{4}\cdot \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha$. Ennek alkalmazásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T_{ABC}+T_{A_{1}BC}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}bc\text{sin}\alpha +\frac{1}{4}{a}^2\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha =\frac{1}{4}\left(\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \right)\left(a^2+2bc\text{cos}\alpha \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle T_{A{B}_{1}C}+T_{AB{C}_1}}& {\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \right)\left(b^2+c^2\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A koszinusztétel szerint $a^2+2bc\text{cos}\alpha =b^2+c^2$, tehát igaz az állítás.   4. Ismeretes, hogy $1+2+3+\text{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ és $1^2+2^2+3^2+\text{...}+n^2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2+7+14+\text{...}+\left(n^2+2n-1\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =\left(1^2+2\cdot 1-1\right)+\left(2^2+2\cdot 2-1\right)+\left(3^2+2\cdot 3-1\right)+\text{...}+\left(n^2+2n-1\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =\left(1^2+2^2+3^2+\text{...}+n^2\right)+2\left(1+2+3+\text{...}+n\right)-n\cdot 1=}\\ \hfill {\displaystyle =\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+2\cdot \frac{n\left(n+1\right)}{2}-n=\frac{n}{6}\left(2n^2+9n+1\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Rábai Imre