A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. a) Ha számtani sorozat, akkor , azaz ; ha , akkor , és így , tehát a sorozat számtani. b) Ha számtani sorozat, akkor , azaz valóban fennáll, hogy ; ha pedig , akkor , és így , azaz a sorozat valóban számtani.
2. Dolgozhatunk vektorokkal. Legyen (), (), (), (), (), (); ekkor , , ; , , , , , . Ezekből, figyelembe véve, hogy : | | Ha a négyszög trapéz, akkor az és a vektorok párhuzamosak és ellentétes az irányításuk, tehát | | tehát
Ha , akkor mivel a fentiek szerint , 2ac=-2ac, azaz 2ac=-2|a|⋅|c|cosφ, ahol φ az a és a c vektorok szöge. Most | 2ac=-2accosφ,cosφ=-1,φ=180∘, | tehát a‖c, azaz a négyszög valóban trapéz.
3. Ha egy egyenlő szárú háromszög alapja x, az alapon fekvő szög α, akkor a magassága m=12⋅x⋅tgα, területe T=12⋅x⋅x2⋅tgα, T=x24⋅tgα. Ennek alkalmazásával: | TABC+TA1BC=12bcsinα+14a2tgα=14(tgα)(a2+2bccosα),TAB1C+TABC1=14(tgα)(b2+c2). | A koszinusztétel szerint a2+2bccosα=b2+c2, tehát igaz az állítás.
4. Ismeretes, hogy 1+2+3+...+n=n(n+1)2 és 12+22+32+...+n2=16n(n+1)(2n+1). | 2+7+14+...+(n2+2n-1)==(12+2⋅1-1)+(22+2⋅2-1)+(32+2⋅3-1)+...+(n2+2n-1)==(12+22+32+...+n2)+2(1+2+3+...+n)-n⋅1==16n(n+1)(2n+1)+2⋅n(n+1)2-n=n6(2n2+9n+1). |
|
|