Cím: Szerkesztések vonalzóval
Szerző(k):  Gyenes Zoltán 
Füzet: 2001/február, 82 - 87. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2000. évi XI. magyar‐izraeli matematikaverseny feladata volt a következő:

 
1. Adott a síkon a C kör (a középpontja nélkül) és a P pont. Megszerkeszthető-e csak vonalzóval a C kör középpontját a P-vel összekötő egyenes?
 
2. Adott a síkon a C1 és a C2 kör (a középpontjaik nélkül). Szerkesszük meg a középpontjaikon átmenő egyenest csak vonalzóval, ha
*i)a két kör metszi egymást;
*ii)a két kör érinti egymást, és az érintési pont, T meg van jelölve;
*iii)ha nincs közös pontjuk.
A feladatot úgy kaptuk meg, hogy a 2. iii) részre nem volt ismert, hogy elvégezhető-e a szerkesztés. A későbbiekben megvizsgáljuk, mit mondhatunk az egyes esetekben.
1. Először is vegyük észre, hogy itt az a kérdés, megszerkeszthető-e a C kör középpontja. Valóban, egyrészt ha megszerkeszthető, akkor P-vel összekötve, a kívánt egyenest kapjuk meg. Másrészt, ha két tetszőleges pontot, P1-et és P2-t véve megszerkesztjük a kérdezett egyeneseket (ha szerkeszthetők), akkor ezek metszéspontja a kör középpontját adja meg (kivéve, ha OP1 egyenesén P2 is rajta van, de először OP1 egyenesét megszerkesztve felvehetjük P2-t rajta kívül). Átfogalmazzuk tehát a kérdést:
1.' Megszerkeszthető-e csak vonalzóval a C kör középpontja?
Megmutatjuk, hogy ez nem lehetséges. A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy szerkesztési lépések egy sorozatával megkaptuk a középpontot, O-t. A bizonyítás alapgondolata nagyon szép: vetítsük a kört egy pontból egy másik S1 síkra úgy, hogy kör maradjon, a sík egyenesei egyenesek maradjanak, de a kör O középpontja ne kerüljön az új kör O1 középpontjába. A vetítést a feltételezett szerkesztés lépéseire alkalmazva az új síkon ugyanannak a lépéssorozatnak az O1 középpontot kellene adnia, de a lépések nyomán a C körvonal középpontjának O* vetítettjét kapjuk, ami ellentmondás, mert ez a pont nem középpontja a C1-nek. Célunk tehát az, hogy egy ilyen vetítést találjunk.
Lépjünk ki ezért az S síkból a térbe, vegyünk fel egy P pontot a síkon kívül, és tekintsük a P és a C körvonal által meghatározott kúpot. Az a G gömb, amelynek C az egyik főköre, metszi a kúpot, ha P a G-n kívül van (1. ábra). Belátjuk, hogy a metszet kör, vagy ami ezzel ekvivalens, hogy a metszet pontjai egy síkban vannak. Valóban, ha Q1 és Q2 a C két pontja, a PQ1 és PQ2 egyenesek másodszor R1-ben és R2-ben metszik a G gömböt, akkor az R1 és R2 által meghatározott egyenes párhuzamos egy adott állású síkkal. Ennek belátásához tekintsük azt a G1 gömböt, ami átmegy C-n és a P ponton; e gömb P-beli érintősíkja, S2 megfelelő lesz. Messük el ugyanis az egész elrendezést a Q1Q2R2R1 négyszög síkjával: állításunk bizonyítása a kerületi szögek tétele alapján a 2. ábráról leolvasható.
Legyen a metszet síkja (az S2-vel párhuzamos) S1 sík; azt állítjuk, hogy ha P merőleges vetülete az eredeti S síkon nem C középpontja, vagyis a P csúcsú C alapú kúp nem egyenes kúp, akkor a P pontból az S1 síkra való vetítés megfelel.
Valóban, az S és az S1 sík, C és C1 síkja nem párhuzamos, így O (a C középpontja) képe nem lesz középpont; C képe a bizonyítottak szerint kör, az pedig nyilvánvaló, hogy a vetítés során minden egyenes képe egyenes. Tehát 1.'-re valóban nemmel válaszolhatunk.
2. Az első két részfeladat megoldásához két ismert alapszerkesztést használunk fel.
 
3. ábra
 
a) Ha ismert egy AB szakasszal párhuzamos e egyenes, akkor csak vonalzóval meg tudjuk szerkeszteni az AB szakasz F felezőpontját.
 
4. ábra
 
b) Ha adott az AB szakasz F felezőpontja, akkor tetszőleges Q ponton át csak vonalzóval meg tudjuk szerkeszteni az AB-vel párhuzamos, Q ponton átmenő egyenest.

 

a) A P segédpontot felvéve a létrejövő ABQ1Q2 trapézban PM átmegy az AB felezőpontján.
b) A P segédpontot felvéve az M pont PF és BQ metszéspontjaként adódik. Ezután az AM és PB metszéspontját (Q*) a Q-val összekötő egyenes párhuzamos lesz AB-vel.
Az első szerkesztés helyessége a párhuzamos szelők tételéből, a másodiké pedig annak megfordításából közvetlenül adódik.

Térjünk rá ezek után a 2. feladat első két szerkesztésére.
a) szerint mindkét esetben elegendő az egyik körbe egy párhuzamos húrpárt rajzolnunk. Ekkor ugyanis meg tudjuk felezni őket, és az F1F2 egyenes átmegy a kör középpontján (5. ábra).
Ezt a lépést egy újabb, az előzővel nem párhuzamos húrpárra megismételve a kör középpontja is megszerkeszthető, a centrálist tehát a körök középpontjainak megszerkesztésével kapjuk.

i) A C1 körön a P1, P2 segédpontokat fölvéve és összekötve őket a körök metszéspontjaival, a kerületi szögek tétele szerint a Q1R2 és az R1Q2 ívek egyenlők, így a végpontjaikat összekötő húrok, Q1Q2 és R1R2 párhuzamosak (6. ábra).
ii) Mivel T a két érintkező kör belső hasonlósági pontja, a P1, P2 segédpontokat fölvéve P1P2 párhuzamos Q1Q2-vel (7. ábra).
a) szerint így meg tudjuk felezni a Q1Q2 szakaszt, és ezután b) szerint a C2 kör tetszőleges P pontján át meg tudjuk rajzolni a Q1Q2-vel párhuzamos húrt.
Mielőtt rátérnénk iii) vizsgálatára, megfigyelhetjük, hogy az i) és ii) esetben nemcsak a centrálist kapjuk meg, hanem a középpontokat is. Az i) részre majd mutatunk egy olyan szerkesztést is, amely közvetlenül a centrálist adja meg, a középpontokat nem. Az iii) esetben pedig megmutatjuk, hogy az eddigi típusú szerkesztések nem működnek, ti. C1 és C2 középpontja általában nem szerkeszthető.
iii) A pontos állítás, amit bizonyítunk, a következő:
 
Állítás. Ha a C1 és C2 körvonalaknak nincs közös pontja, továbbá nem koncentrikusak, akkor középpontjaik csak vonalzóval nem szerkeszthetők.
 
Bizonyítás. Az első bizonyításhoz hasonlóan most is azt mutatjuk meg, hogy van olyan P pont és S1 sík a térben, hogy a P-ből a körök S síkját S1-re vetítve mindkét kör képe kör marad, de a vetítés során a középpontok képe nem középpont. A 8. ábra azt a síkmetszetet mutatja, amelyben a P ponton és a C1, C2 körök centrálisán átmenő sík metszi az elrendezést.
Tekintsük C1 és C2 hatványvonalát, messe ezt a centrális a Q pontban, vegyük fel a P pontot C1 és C2 síkján kívül úgy, hogy a QP szakasz hossza egyenlő legyen a Q pontból a körökhöz húzható érintő szakasz hosszával; továbbá P merőleges vetülete a centrálison legyen. Mivel C1 és C2 nem koncentrikusak, így a hatványvonaluk létezik; másrészt Q-ból C1-hez és C2-höz is húzható érintő, mert a hatványvonal nem metszi (vagy érinti) a köröket az adott feltételek mellett. Tekintsük a P és a C1 által meghatározott G1, továbbá a P és a C2 által meghatározott G2 gömböt. QP egyenese mindkét gömböt érinti (hiszen a Q-ból a G1-hez, illetve G2-höz húzott érintők mind egyenlő hosszúak), a két gömb P-beli érintősíkja így azonos (mivel QP-vel és a hatványegyenessel is párhuzamos), tehát a két gömb P-ben érinti egymást. Vegyünk fel az itteni E érintősíkkal párhuzamos S1 síkot, amely nem megy át P-n.
P-ből erre az S1 síkra vetítve (ami S-sel nem párhuzamos, mert C1 és C2 nem koncentrikusak) C1 és C2 képe kör, az egyenesek képe egyenes, de C1 és C2 középpontja nem megy át a megfelelő középpontokba, így 1.-hez hasonlóan ellentmondáshoz jutottunk.
Mindebből még nem következik, hogy a centrális nem szerkeszthető. A középpontok viszont még akkor sem szerkeszthetőek, ha még a centrális is meg van adva, ez adódik a fenti bizonyításból. Ez azért fontos, mert ellenkező esetben be lehetne bizonyítani, hogy ha körök nem metszik egymást, akkor nem szerkeszthető meg a centrális. Valóban, ha a centrális ismeretében már meg lehetne szerkeszteni a középpontokat, akkor abból a körök középpontjára adódna szerkesztési eljárás.
A fenti eredmény tehát negatív: nem vezet ellentmondásra az a feltevés, hogy két nem metsző kör centrálisa csak vonalzóval megszerkeszthető. Ennél többet a fentiek alapján nem állíthatunk, az iii) probléma továbbra is nyitott.
Befejezésül egy további speciális eredményt bizonyítunk:
 
Állítás. Ha C1 és C2 koncentrikus körök, akkor szerkeszthető a közös középpont.
 
Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy koncentrikus körökbe ismét rajzolhatunk párhuzamos húrokat csak vonalzóval (9. ábra), az így adódó szimmetrikus trapéz felhasználásával pedig a közös középponton átmenő egyenest rajzolhatunk.
Ha P a körök külső pontja, akkor a P-nek a körökre vonatkozó polárisai*Egyenes és pont körre vonatkozó kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéséről, a polaritásról ld. pl.: Havalampijev: Pólus és poláris a körben c. cikkét a KöMaL 1987/1. számában., p1 és p2 párhuzamosak lesznek (10. ábra).
Egy P pont adott körre vonatkozó p polárisát pedig megszerkeszthetjük csak vonalzóval, ha felhasználjuk, hogy a P-n átmenő tetszőleges egyenes, amelyik a kört két pontban (Q1 és Q2) metszi, a p polárist olyan P* pontban metszi, amelyre a PQ2P*Q1 ún. harmonikus pontnégyest alkot, tehát amelyre Q2PPQ1=Q2P*P*Q1 (11. ábra).
A P pontnak a Q1, Q2 pontokra vonatkozó harmonikus társát pedig megszerkeszthetjük csak vonalzóval (12. ábra). A szerkesztés a 2/a) eljárás kiterjesztése, a ,,teljes négyoldal'' tulajdonságait használja fel.
Így két szelő felhasználásával két pontot kapunk a polárison.
Némileg hasonló az új megoldás az i) feladatra: elég lenne a két kör metszéspontjaiban érintőket szerkeszteni, ezek metszéspontjai kiadják a centrálist. Ehhez a projektív geometria ad segítséget: a Pappos‐Pascal tétel. Eszerint ha adott egy körbe írt hatszög, akkor az AiAi+1 és Ai+3Ai+4 egyenesek metszéspontjai (i=1, 2, 3) Aj+6=Aj egy egyenesen vannak. A hatszög itt akár önmagát metsző is lehet: a csúcsok számozása határozza meg az egyenespárokat. A tétel akkor is igaz, ha egy egyenest meghatározó két pont egybeesik a körön: összekötő egyenesük ekkor az adott pontba húzott érintő. Éppen ezt használhatjuk egy kör adott A pontjába húzott érintő megszerkesztésekor. Legyen A0A1A, és vegyük fel az A2, A3, A4, A5 pontokat a körön tetszőlegesen. Szerkesszük meg az A2A3A5A0, A4A5A1A2 metszéspontokat; a tétel szerint ezek egy e egyenesen vannak. Ez A3A4-et B-ben metszi; AB a keresett érintő (13. ábra). Ez utóbbi két megoldás mutatja, hogy milyen hasznos segédeszköz lehet a projektív geometria bizonyos feladatok megoldásánál.
Végül az érdeklődőknek ajánljuk Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete című könyvét. A bizonyítások egy része innen származik, és itt található az 1. feladatra, illetve a 2. iii) részre koordináta-geometriát felhasználó bizonyítás is.
Gyenes Zoltán

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*1