A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 2000. évi XI. magyar‐izraeli matematikaverseny feladata volt a következő:
1. Adott a síkon a kör (a középpontja nélkül) és a pont. Megszerkeszthető-e csak vonalzóval a kör középpontját a -vel összekötő egyenes?
2. Adott a síkon a és a kör (a középpontjaik nélkül). Szerkesszük meg a középpontjaikon átmenő egyenest csak vonalzóval, ha
* | i)a két kör metszi egymást; |
* | ii)a két kör érinti egymást, és az érintési pont, meg van jelölve; |
* | iii)ha nincs közös pontjuk. | A feladatot úgy kaptuk meg, hogy a 2. iii) részre nem volt ismert, hogy elvégezhető-e a szerkesztés. A későbbiekben megvizsgáljuk, mit mondhatunk az egyes esetekben. 1. Először is vegyük észre, hogy itt az a kérdés, megszerkeszthető-e a kör középpontja. Valóban, egyrészt ha megszerkeszthető, akkor -vel összekötve, a kívánt egyenest kapjuk meg. Másrészt, ha két tetszőleges pontot, -et és -t véve megszerkesztjük a kérdezett egyeneseket (ha szerkeszthetők), akkor ezek metszéspontja a kör középpontját adja meg (kivéve, ha egyenesén is rajta van, de először egyenesét megszerkesztve felvehetjük -t rajta kívül). Átfogalmazzuk tehát a kérdést: 1.' Megszerkeszthető-e csak vonalzóval a kör középpontja? Megmutatjuk, hogy ez nem lehetséges. A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy szerkesztési lépések egy sorozatával megkaptuk a középpontot, -t. A bizonyítás alapgondolata nagyon szép: vetítsük a kört egy pontból egy másik síkra úgy, hogy kör maradjon, a sík egyenesei egyenesek maradjanak, de a kör középpontja ne kerüljön az új kör középpontjába. A vetítést a feltételezett szerkesztés lépéseire alkalmazva az új síkon ugyanannak a lépéssorozatnak az középpontot kellene adnia, de a lépések nyomán a körvonal középpontjának vetítettjét kapjuk, ami ellentmondás, mert ez a pont nem középpontja a -nek. Célunk tehát az, hogy egy ilyen vetítést találjunk. Lépjünk ki ezért az síkból a térbe, vegyünk fel egy pontot a síkon kívül, és tekintsük a és a körvonal által meghatározott kúpot. Az a gömb, amelynek az egyik főköre, metszi a kúpot, ha a -n kívül van (1. ábra). Belátjuk, hogy a metszet kör, vagy ami ezzel ekvivalens, hogy a metszet pontjai egy síkban vannak. Valóban, ha és a két pontja, a és egyenesek másodszor -ben és -ben metszik a gömböt, akkor az és által meghatározott egyenes párhuzamos egy adott állású síkkal. Ennek belátásához tekintsük azt a gömböt, ami átmegy -n és a ponton; e gömb -beli érintősíkja, megfelelő lesz. Messük el ugyanis az egész elrendezést a négyszög síkjával: állításunk bizonyítása a kerületi szögek tétele alapján a 2. ábráról leolvasható. Legyen a metszet síkja (az -vel párhuzamos) sík; azt állítjuk, hogy ha merőleges vetülete az eredeti síkon nem középpontja, vagyis a csúcsú alapú kúp nem egyenes kúp, akkor a pontból az síkra való vetítés megfelel. Valóban, az és az sík, és síkja nem párhuzamos, így (a középpontja) képe nem lesz középpont; képe a bizonyítottak szerint kör, az pedig nyilvánvaló, hogy a vetítés során minden egyenes képe egyenes. Tehát 1.'-re valóban nemmel válaszolhatunk. 2. Az első két részfeladat megoldásához két ismert alapszerkesztést használunk fel.
3. ábra a) Ha ismert egy szakasszal párhuzamos egyenes, akkor csak vonalzóval meg tudjuk szerkeszteni az szakasz felezőpontját. | 4. ábra b) Ha adott az szakasz felezőpontja, akkor tetszőleges ponton át csak vonalzóval meg tudjuk szerkeszteni az -vel párhuzamos, ponton átmenő egyenest. |
a) A segédpontot felvéve a létrejövő trapézban átmegy az felezőpontján. b) A segédpontot felvéve az pont és metszéspontjaként adódik. Ezután az és metszéspontját () a -val összekötő egyenes párhuzamos lesz -vel. Az első szerkesztés helyessége a párhuzamos szelők tételéből, a másodiké pedig annak megfordításából közvetlenül adódik.
Térjünk rá ezek után a 2. feladat első két szerkesztésére. a) szerint mindkét esetben elegendő az egyik körbe egy párhuzamos húrpárt rajzolnunk. Ekkor ugyanis meg tudjuk felezni őket, és az egyenes átmegy a kör középpontján (5. ábra). Ezt a lépést egy újabb, az előzővel nem párhuzamos húrpárra megismételve a kör középpontja is megszerkeszthető, a centrálist tehát a körök középpontjainak megszerkesztésével kapjuk.
i) A körön a , segédpontokat fölvéve és összekötve őket a körök metszéspontjaival, a kerületi szögek tétele szerint a és az ívek egyenlők, így a végpontjaikat összekötő húrok, és párhuzamosak (6. ábra). ii) Mivel a két érintkező kör belső hasonlósági pontja, a , segédpontokat fölvéve párhuzamos -vel (7. ábra). a) szerint így meg tudjuk felezni a szakaszt, és ezután b) szerint a kör tetszőleges pontján át meg tudjuk rajzolni a -vel párhuzamos húrt. Mielőtt rátérnénk iii) vizsgálatára, megfigyelhetjük, hogy az i) és ii) esetben nemcsak a centrálist kapjuk meg, hanem a középpontokat is. Az i) részre majd mutatunk egy olyan szerkesztést is, amely közvetlenül a centrálist adja meg, a középpontokat nem. Az iii) esetben pedig megmutatjuk, hogy az eddigi típusú szerkesztések nem működnek, ti. és középpontja általában nem szerkeszthető. iii) A pontos állítás, amit bizonyítunk, a következő:
Állítás. Ha a és körvonalaknak nincs közös pontja, továbbá nem koncentrikusak, akkor középpontjaik csak vonalzóval nem szerkeszthetők.
Bizonyítás. Az első bizonyításhoz hasonlóan most is azt mutatjuk meg, hogy van olyan pont és sík a térben, hogy a -ből a körök síkját -re vetítve mindkét kör képe kör marad, de a vetítés során a középpontok képe nem középpont. A 8. ábra azt a síkmetszetet mutatja, amelyben a ponton és a , körök centrálisán átmenő sík metszi az elrendezést. Tekintsük és hatványvonalát, messe ezt a centrális a pontban, vegyük fel a pontot és síkján kívül úgy, hogy a szakasz hossza egyenlő legyen a pontból a körökhöz húzható érintő szakasz hosszával; továbbá merőleges vetülete a centrálison legyen. Mivel és nem koncentrikusak, így a hatványvonaluk létezik; másrészt -ból -hez és -höz is húzható érintő, mert a hatványvonal nem metszi (vagy érinti) a köröket az adott feltételek mellett. Tekintsük a és a által meghatározott , továbbá a és a által meghatározott gömböt. egyenese mindkét gömböt érinti (hiszen a -ból a -hez, illetve -höz húzott érintők mind egyenlő hosszúak), a két gömb -beli érintősíkja így azonos (mivel -vel és a hatványegyenessel is párhuzamos), tehát a két gömb -ben érinti egymást. Vegyünk fel az itteni érintősíkkal párhuzamos síkot, amely nem megy át -n. -ből erre az síkra vetítve (ami -sel nem párhuzamos, mert és nem koncentrikusak) és képe kör, az egyenesek képe egyenes, de és középpontja nem megy át a megfelelő középpontokba, így 1.-hez hasonlóan ellentmondáshoz jutottunk. Mindebből még nem következik, hogy a centrális nem szerkeszthető. A középpontok viszont még akkor sem szerkeszthetőek, ha még a centrális is meg van adva, ez adódik a fenti bizonyításból. Ez azért fontos, mert ellenkező esetben be lehetne bizonyítani, hogy ha körök nem metszik egymást, akkor nem szerkeszthető meg a centrális. Valóban, ha a centrális ismeretében már meg lehetne szerkeszteni a középpontokat, akkor abból a körök középpontjára adódna szerkesztési eljárás. A fenti eredmény tehát negatív: nem vezet ellentmondásra az a feltevés, hogy két nem metsző kör centrálisa csak vonalzóval megszerkeszthető. Ennél többet a fentiek alapján nem állíthatunk, az iii) probléma továbbra is nyitott. Befejezésül egy további speciális eredményt bizonyítunk:
Állítás. Ha és koncentrikus körök, akkor szerkeszthető a közös középpont.
Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy koncentrikus körökbe ismét rajzolhatunk párhuzamos húrokat csak vonalzóval (9. ábra), az így adódó szimmetrikus trapéz felhasználásával pedig a közös középponton átmenő egyenest rajzolhatunk. Ha a körök külső pontja, akkor a -nek a körökre vonatkozó polárisaiEgyenes és pont körre vonatkozó kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéséről, a polaritásról ld. pl.: Havalampijev: Pólus és poláris a körben c. cikkét a KöMaL 1987/1. számában., és párhuzamosak lesznek (10. ábra). Egy pont adott körre vonatkozó polárisát pedig megszerkeszthetjük csak vonalzóval, ha felhasználjuk, hogy a -n átmenő tetszőleges egyenes, amelyik a kört két pontban ( és ) metszi, a polárist olyan pontban metszi, amelyre a ún. harmonikus pontnégyest alkot, tehát amelyre (11. ábra). A pontnak a , pontokra vonatkozó harmonikus társát pedig megszerkeszthetjük csak vonalzóval (12. ábra). A szerkesztés a eljárás kiterjesztése, a ,,teljes négyoldal'' tulajdonságait használja fel. Így két szelő felhasználásával két pontot kapunk a polárison. Némileg hasonló az új megoldás az i) feladatra: elég lenne a két kör metszéspontjaiban érintőket szerkeszteni, ezek metszéspontjai kiadják a centrálist. Ehhez a projektív geometria ad segítséget: a Pappos‐Pascal tétel. Eszerint ha adott egy körbe írt hatszög, akkor az és egyenesek metszéspontjai (, 2, 3) egy egyenesen vannak. A hatszög itt akár önmagát metsző is lehet: a csúcsok számozása határozza meg az egyenespárokat. A tétel akkor is igaz, ha egy egyenest meghatározó két pont egybeesik a körön: összekötő egyenesük ekkor az adott pontba húzott érintő. Éppen ezt használhatjuk egy kör adott pontjába húzott érintő megszerkesztésekor. Legyen , és vegyük fel az , , , pontokat a körön tetszőlegesen. Szerkesszük meg az , metszéspontokat; a tétel szerint ezek egy egyenesen vannak. Ez -et -ben metszi; a keresett érintő (13. ábra). Ez utóbbi két megoldás mutatja, hogy milyen hasznos segédeszköz lehet a projektív geometria bizonyos feladatok megoldásánál. Végül az érdeklődőknek ajánljuk Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete című könyvét. A bizonyítások egy része innen származik, és itt található az 1. feladatra, illetve a 2. iii) részre koordináta-geometriát felhasználó bizonyítás is.
|