Cím: A novemberi szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2000/december, 524 - 525. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Vezessünk be új változót. Legyen x(x-1)=u, 2x+3y=v. Ekkor uv=26 és u+v=15. Innen u=2, v=13 vagy u=13, v=2, azaz x(x-1)=2, 2x+3y=13 vagy x(x-1)=13, 2x+3y=2. Az egyenletrendszer megoldásai: x1=2, y1=3; x2=-1, y2=5; x3=12(1+53), y3=13(12-53); x4=12(1-53), y4=13(12+53).
 
2. Legyen AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, ekkor a+b+c+d=0  (a+c=-b-d).
Ha az ABCD négyszög paralelogramma, akkor c=-a és d=-b, tehát ABAD+BABC+CBCD+DADC=a(-d)+(-a)b+(-b)c+d(-c)=ab-ab+ab-ab=0.
Ha ABAD+BABC+CBCD+DADC=0, akkor a(-d)+(-a)b+(-b)c+d(-c)=0, tehát (a+c)(-b-d)=0. Mivel -b-d=a+c, azért (a+c)2=0;  ((b+d)2=0), a=-c;  (b=-d), azaz a négyszög paralelogramma.
 
3. Az egyenlet (tgx)-re másodfokú. A diszkriminánsra D=4(siny+cosy)2-420 kell, hogy teljesüljön, tehát 1+sin2y2, sin2y1, azaz sin2y=1, y=π4+2nπ vagy y=5π4+2nπ.
Ha y1,n=π4+2nπ, akkor tgx=-2, x1,k2,186+kπ, ha y2,n=5π4+2nπ, akkor tgx=2, x2,k0,955+kπ, k, nZ.
 
4. Jelölje a trapéz hegyesszögét 2x (0<x<π4). Ekkor a hosszabb párhuzamos oldal 2ctgx, a rövidebb párhuzamos oldal 2tgx, a trapéz szára ctgx+tgx, a trapéz magassága 2 egység.
A forgástest felszínét két egybevágó kúppalást és egy hengerpalást alkotja, a forgástest térfogata két forgáskúp és egy forgáshenger térfogatának az összege.
Az A(x) felszín:
A(x)=22π(tgx+ctgx)+22π2tgx,A(x)=4π(3tgx+ctgx),0<x<π4.
A V(x) térfogat:
V(x)=24π(ctgx-tgx)3+4π2tgx,V(x)=8π3(2tgx+ctgx),0<x<π4.
Ismeretes, hogy ha a>0 és b>0, akkor a+b2ab, az egyenlőség a=b esetén teljesül.
A(x)=4π(3tgx+ctgx)4π23=83π.
A minimális felszín 83π területegység; ez akkor jön létre, ha 3tgx=ctgx és (0<x<π4), tgx=13, 2x=π3, (2x=60). A minimális térfogat V(x)=8π3(2tgx+ctgx)8π322=16π23 térfogategység; ez akkor jön létre, ha 2tgx=ctgx, tgx=120,707, ahonnan x3515', tehát 2x7030'.
Rábai Imre