Kezdőlap


Cím:	A novemberi szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2000/december, 524 - 525. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Vezessünk be új változót. Legyen

x (x - 1) = u

2 x + 3 y = v

. Ekkor

u \cdot v = 26

és

u + v = 15

. Innen

u = 2

v = 13

vagy

u = 13

v = 2

, azaz

x (x - 1) = 2

2 x + 3 y = 13

vagy

x (x - 1) = 13

2 x + 3 y = 2

. Az egyenletrendszer megoldásai:

x_{1} = 2

y_{1} = 3

;

x_{2} = - 1

y_{2} = 5

;

x_{3} = \frac{1}{2} (1 + \sqrt[]{53})

y_{3} = \frac{1}{3} (12 - \sqrt[]{53})

;

x_{4} = \frac{1}{2} (1 - \sqrt[]{53})

y_{4} = \frac{1}{3} (12 + \sqrt[]{53})

2. Legyen

\vec{A B} = a

\vec{B C} = b

\vec{C D} = c

\vec{D A} = d

, ekkor

a + b + c + d = 0

(

a + c = - b - d

).
Ha az

A B C D

négyszög paralelogramma, akkor

c = - a

és

d = - b

, tehát

\vec{A B} \cdot \vec{A D} + \vec{B A} \cdot \vec{B C} + \vec{C B} \cdot \vec{C D} + \vec{D A} \cdot \vec{D C} = a (- d) + (- a) b + (- b) c + d (- c) = a b - a b + a b - a b = 0

.
Ha

\vec{A B} \cdot \vec{A D} + \vec{B A} \cdot \vec{B C} + \vec{C B} \cdot \vec{C D} + \vec{D A} \cdot \vec{D C} = 0

, akkor

a (- d) + (- a) b + (- b) c + d (- c) = 0

, tehát

(a + c) (- b - d) = 0

. Mivel

- b - d = a + c

, azért

{(a + c)}^{2} = 0

; (

{(b + d)}^{2} = 0

a = - c

; (

b = - d

), azaz a négyszög paralelogramma.

3. Az egyenlet

(tg x)

-re másodfokú. A diszkriminánsra

D = 4 {(sin y + cos y)}^{2} - 4 \cdot 2 \geq 0

kell, hogy teljesüljön, tehát

1 + sin 2 y \geq 2

sin 2 y \geq 1

, azaz

sin 2 y = 1

y = \frac{π}{4} + 2 n π

vagy

y = \frac{5 π}{4} + 2 n π

.
Ha

y_{1, n} = \frac{π}{4} + 2 n π

, akkor

tg x = - \sqrt[]{2}

x_{1, k} \approx 2,186 + k π

, ha

y_{2, n} = \frac{5 π}{4} + 2 n π

, akkor

tg x = \sqrt[]{2}

x_{2, k} \approx 0,955 + k π

k

n \in Z

4. Jelölje a trapéz hegyesszögét

2 x

(

0 < x < \frac{π}{4}

). Ekkor a hosszabb párhuzamos oldal

2 ctg x

, a rövidebb párhuzamos oldal

2 tg x

, a trapéz szára

ctg x + tg x

, a trapéz magassága 2 egység.
A forgástest felszínét két egybevágó kúppalást és egy hengerpalást alkotja, a forgástest térfogata két forgáskúp és egy forgáshenger térfogatának az összege.
Az

A (x)

felszín:

\begin{matrix} \begin{matrix} A (x) & = 2 \cdot 2 π (tg x + ctg x) + 2 \cdot 2 π \cdot 2 tg x, \\ A (x) & = 4 π (3 tg x + ctg x), 0 < x < \frac{π}{4} . \end{matrix} \end{matrix}

V (x)

térfogat:

\begin{matrix} \begin{matrix} V (x) & = 2 \cdot \frac{4 π (ctg x - tg x)}{3} + 4 π \cdot 2 tg x, \\ V (x) & = \frac{8 π}{3} (2 tg x + ctg x), 0 < x < \frac{π}{4} . \end{matrix} \end{matrix}

Ismeretes, hogy ha

a > 0

és

b > 0

, akkor

a + b \geq 2 \sqrt[]{a b}

, az egyenlőség

a = b

esetén teljesül.

\begin{matrix} A (x) = 4 π (3 tg x + ctg x) \geq 4 π \cdot 2 \sqrt[]{3} = 8 \sqrt[]{3} π . \end{matrix}

A minimális felszín

8 \sqrt[]{3} π

területegység; ez akkor jön létre, ha

3 tg x = ctg x

és (

0 < x < \frac{π}{4}

tg x = \frac{1}{\sqrt[]{3}}

2 x = \frac{π}{3}

, (

2 x = 60^{\circ}

). A minimális térfogat

V (x) = \frac{8 π}{3} (2 tg x + ctg x) \geq \frac{8 π}{3} \cdot 2 \sqrt[]{2} = \frac{16 π \sqrt[]{2}}{3}

térfogategység; ez akkor jön létre, ha

2 tg x = ctg x

tg x = \frac{1}{\sqrt[]{2}} \approx 0, 707

, ahonnan

x \approx 35^{\circ} 15'

, tehát

2 x \approx 70^{\circ} 30'

Rábai Imre