A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bevezetés
Mindannyian tudjuk, hogy két négyzetszám szorzata maga is négyzetszám; ez a szorzás asszociativitásából és kommutativitásából következik. Két pozitív négyzetszám összege azonban nem mindig négyzetszám (és semmiképpen sem a két tag összegének a négyzete!). Pitagorasz tétele nyomán már több, mint kétezer éve ráterelődött a figyelem a két négyzetszám összegeként írható négyzetszámokra. A pitagoraszi számhármasok jellemzése a görög aritmetika egyik látványos eredménye. Jóval később, a XVII. században Fermat, aki szisztematikusan vizsgálta ezeket a mennyiségeket, kiderítette, hogy az alakú számok sok tekintetben hasonlítanak a négyzetszámokhoz: az utóbbiak prímtényezős felbontásában minden prímszám kitevője páros, ahhoz pedig, hogy egy számot föl lehessen írni két négyzet összegeként, csak a alakú prímtényezőik kitevőinek kell párosnak lennie. Például a és a ilyen számok: prímfelbontásukban a 3 páros kitevőn szerepel (2 és 5 nem alakú prím). Valóban: és . A szerkezeti rokonság viszont hasonló aritmetikai viselkedésben mutatkozik meg: ha összeszorozzuk ezt a két számot, akkor a szorzatban is páros lesz az egyetlen alakú prímtényező, a 3 kitevője, így az is felírható két négyzetszám összegeként; valóban, némi próbálkozás után Ez nyilván ugyanígy igaz általában is. Magát a jelenséget úgy szokás fogalmazni, hogy az alakú számok halmaza zárt a szorzásra nézve. Négyzetszámok persze el is oszthatók egymással: ha a hányados egész, akkor az maga is négyzetszám. Ebből egyébként az a közismert tény is következik, hogy nem négyzetszámok, például a 2 négyzetgyöke irracionális szám. A prímfelbontás segítségével történő jellemzésből kiderül, hogy a két négyzet összegeként felírható számoknak is megvan ez a tulajdonsága: ha a hányadosuk egész, akkor mivel az osztás megtartja a alakú prímtényezők kitevőjének a páros voltát, maga is két négyzet összege. A fenti példa számaira . Az, hogy a szorzatra vonatkozó eredmény simán adódott a Lagrange-azonosságból, arra bátoríthat, hogy most a fordított irányban is kísérletezzünk aritmetikai bizonyítással; így talán, a szorzatéhoz hasonlóan, megkaphatjuk a hányados felbontását is. Ez most az átrendezésből adódó | | egyenlet, illetve az innen kapott | | egyenletrendszerek vizsgátatát jelenti; legalább az egyik esetben egész értéket kellene kapnunk. A példában (, , , ) sajnos ez nem teljesül. Az első esetben , , a másodikban pedig az ettől nem sokban különböző , megoldást kapjuk. Az így nyert felbontásban az egész hányados nem egészek négyzetösszege, ahogy várnánk, pedig tudjuk, hogy létezik ilyen fenbontás is: | | Ebben a pillanatban meg kell tehát elégednünk az egzisztenciatétel állításával: a felbontás egészek négyzetösszegére létezik. A probléma egy lehetséges általánosításaként megfogalmazhatunk hasonló kérdéseket az alakú számok körében is, ahol a adott egész szám. A Lagrange-azonosság kiterjesztése | | most is azonnal adja ‐ anélkül, hogy az alakú számok prímtényezős felbontásának jellemzésével kellene vesződnünk ‐, hogy az ilyen alakú számok halmaza is zárt a szorzásra nézve. Az eddigiek alapján a hányadosra vonatkozó megfelelő állítás vizsgálata egyáltalán nem látszik könnyűnek; a , illetve 1 esetekben az adott alakú számok prímtényezős felbontásának jellemzéséből kaptuk meg a választ.
Csörnyei Marianna, a University College of London ösztöndíjas kutatója ezt a cikket még a Fazekas M. Fővárosi Gyakorló Gimnázium másodikos diákjaként írta egy órán fölvetett kérdés megválaszolásaként. A cikkben megfigyelhető, hogy a kétfajta megközelítés, az aritmetikai és a szerkezeti, hogyan működik együtt és vezet el a probléma megoldásához.
A cikkben azt fogjuk megvizsgálni, hogy a -en kívül még milyen pozitív, 1-nél nagyobb -kre teljesül, hogy ha két alakú szám hányadosa egész, akkor a hányados is ilyen alakú. Könnyen belátható, hogy a nem lehet 1-nél nagyobb négyzetszám. Ugyanis esetén , és ez esetén nem írható fel alakba. Tehát az állításunk biztosan nem fog minden -re teljesülni. Mielőtt továbbmennénk, bizonyítsuk be az alábbi tételt:
1. Tétel. Ha két alakú szám hányadosa egész, és az osztó prím, akkor a hányados is alakú. Bizonyítás. Két alakú szám szorzata is ilyen alakú: | | (*) |
Vizsgáljuk most az törtet, ahol prím, és . A azonosság alapján elég azt megmutatni, hogy és felírható alakba, ahol és egész (mert ekkor a hányados lesz). Az (1) és (2) egyenletekből kifejezve -t: így ahhoz, hogy a egész legyen, arra van szükség, hogy | | teljesüljön. Mivel az prím, azért ehhez elég az oszthatóságot megmutatnunk: | | Mivel , azért így valóban tehát a két eset () közül az egyikben a egész lesz. Az (1) és (2) egyenletekből könnyen látható, hogy a racionális. Azt is tudjuk, hogy a egész, így ha a egész, akkor a is biztosan egész.
A eset Be fogjuk bizonyítani, hogy esetén az állításunk igaz, tehát ha két alakú szám hányadosa egész, akkor a hányados is ilyen alakú. Legyenek a halmaz elemei azok a prímek, amelyekre -ből következik, hogy és , és legyenek a halmaz elemei azok a prímek, amelyek felírhatók alakba. Bebizonyítjuk, hogy ekkor minden prím eleme -nek vagy -nak. A prímeknek ez a felbontása nyilván közös elem nélküli, hiszen esetén és , tehát nem oszthatja -et és -t. Magát az állítást teljes indukcióval fogjuk bizonyítani. Az állítás esetén igaz, mivel , tehát . Legyen a prím, és tegyük fel, hogy az összes -nél kisebb prímről már bebizonyítottuk, hogy eleme -nek vagy -nak. Tegyük fel, hogy , és bizonyítsuk be, hogy ekkor . Mivel , azért létezik olyan és , amelyre és . Szorozzuk meg az -et és az -t egy olyan számmal, hogy legyen. Nyilván , és mivel , így . Biztos, hogy létezik olyan , amelyre és . Így , ahol Tehát találtunk egy olyan alakú számot, amely osztható -vel és kisebb -nél. Így a prímtényezős felbontásában szerepel egy tényező, és ezen kívül csak -nél kisebb prímtényezői vannak, amelyekre teljesül az indukciós feltevésünk. Ha vannak -beli prímosztói, akkor osszuk el ezekkel az -et és az -t. Így egy olyan alakú számot kapunk, amely osztható -vel, és ezen kívül csak -beli, azaz alakú prímosztói vannak. Ezekkel az 1. Tétel alapján sorra leoszthatunk, végül marad, és ezt a -t alakban fogjuk megkapni. Így valóban . Ezzel bebizonyítottuk, hogy minden prím eleme -nek vagy -nak. Most vizsgáljuk az törtet. Ha a -nek van -beli prímosztója, akkor azzal eloszthatjuk az , , , számokat. Így egy olyan törtet kapunk, ahol a csupa -beli, azaz alakú prím szorzata. Az 1. Tétel alapján ezekkel lehet egyszerűsíteni, így velük sorra egyszerűsítve végül egy alakú számot fogunk kapni. Ezzel az állításunkat -re bebizonyítottuk.
Megjegyzés. Hasonlóan bizonyíthatunk esetén is. Legyenek most a halmaz elemei azon prímek, amelyekre -ből következik, hogy , , és legyenek a halmaz elemei az alakú prímek. A fentiekhez hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy minden prímszám eleme -nek vagy -nak, majd hogy ha két alakú szám hányadosa egész, akkor az is alakú. A bizonyítás alapján azt is könnyen megmondhatjuk, hogy mely számok írhatóak fel alakba: azok és csak azok a számok, amelyek prímfelbontásában a -beli prímek páros kitevőn szerepelnek. A -beli prímek pedig azok, amelyekre a négyzetes nemmaradék modulo p, vagyis a alakú prímek. Így egy elemi és nem túl bonyolult bizonyítást kaptunk arra, hogy azok és csak azok a számok írhatóak fel két négyzetszám összegeként, amelyek prímtényezős felbontásában a alakú prímek páros kitevőn szerepelnek.
Ha ugyanezt kérdezzük a most vizsgált számokról, akkor a esethez hasonlóan itt is annyit mondhatunk, hogy azok a számok írhatók alakba, amelyek prímtényezős felbontásában a -beli prímek páros kitevőn szerepelnek. A -beli prímek: 5, 7, 13, 23, 29, 31, . szerkezete azonban egyáltalán nem olyan egyszerű, mint a esetben.
A két négyzetszám összegeként felírható számok aritmetikájában alapvető szerepe van az ún. Lagrange-azonosság idevonatkozó speciális esetének: | | Ezzel a négyzetszámok összegeként felírható számok szorzatára vonatkozó állítás aritmetikai magyarázatát kapjuk, az azonosság ténylegesen előállítja a szorzatot két négyzetszám összegeként.A tételt feladatként tűztük ki a KöMaL 2000/7. számában. A feladat száma helyesen: B. 3400. |