Cím: Számelmélet az x2+dy2 alakú számok körében - I. rész
Szerző(k):  Csörnyei Marianna 
Füzet: 2000/december, 513 - 517. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/október: B.3400

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bevezetés

 


Mindannyian tudjuk, hogy két négyzetszám szorzata maga is négyzetszám; ez a szorzás asszociativitásából és kommutativitásából következik. Két pozitív négyzetszám összege azonban nem mindig négyzetszám (és semmiképpen sem a két tag összegének a négyzete!). Pitagorasz tétele nyomán már több, mint kétezer éve ráterelődött a figyelem a két négyzetszám összegeként írható négyzetszámokra. A pitagoraszi számhármasok jellemzése a görög aritmetika egyik látványos eredménye. Jóval később, a XVII. században Fermat, aki szisztematikusan vizsgálta ezeket a mennyiségeket, kiderítette, hogy az x2+y2 alakú számok sok tekintetben hasonlítanak a négyzetszámokhoz: az utóbbiak prímtényezős felbontásában minden prímszám kitevője páros, ahhoz pedig, hogy egy számot föl lehessen írni két négyzet összegeként, csak a 4k+3 alakú prímtényezőik kitevőinek kell párosnak lennie. Például a 810=2345 és a 45=325 ilyen számok: prímfelbontásukban a 3 páros kitevőn szerepel (2 és 5 nem 4k+3 alakú prím). Valóban: 810=92+272 és 45=32+62.
A szerkezeti rokonság viszont hasonló aritmetikai viselkedésben mutatkozik meg: ha összeszorozzuk ezt a két számot, akkor a szorzatban is páros lesz az egyetlen 4k+3 alakú prímtényező, a 3 kitevője, így az is felírható két négyzetszám összegeként; valóban, némi próbálkozás után*
81045=36450=1892+272.
Ez nyilván ugyanígy igaz általában is. Magát a jelenséget úgy szokás fogalmazni, hogy az x2+y2 alakú számok halmaza zárt a szorzásra nézve.
Négyzetszámok persze el is oszthatók egymással: ha a hányados egész, akkor az maga is négyzetszám. Ebből egyébként az a közismert tény is következik, hogy nem négyzetszámok, például a 2 négyzetgyöke irracionális szám. A prímfelbontás segítségével történő jellemzésből kiderül, hogy a két négyzet összegeként felírható számoknak is megvan ez a tulajdonsága: ha a hányadosuk egész, akkor mivel az osztás megtartja a 4k+3 alakú prímtényezők kitevőjének a páros voltát, maga is két négyzet összege. A fenti példa számaira 81045=232=32+32. Az, hogy a szorzatra vonatkozó eredmény simán adódott a Lagrange-azonosságból, arra bátoríthat, hogy most a fordított irányban is kísérletezzünk aritmetikai bizonyítással; így talán, a szorzatéhoz hasonlóan, megkaphatjuk a hányados felbontását is. Ez most az a2+b2u2+v2=x2+y2 átrendezésből adódó
a2+b2=(u2+v2)(x2+y2)=(ux±vy)2+(vxuy)2
egyenlet, illetve az innen kapott
a=ux+vyb=vx-uy}a=ux-vyb=vx+uy}
egyenletrendszerek vizsgátatát jelenti; legalább az egyik esetben egész (x,y) értéket kellene kapnunk. A példában (a=9, b=27, u=3, v=6) sajnos ez nem teljesül. Az első esetben x=215, y=-35, a másodikban pedig az ettől nem sokban különböző x=215, y=35 megoldást kapjuk. Az így nyert felbontásban az egész hányados nem egészek négyzetösszege, ahogy várnánk, pedig tudjuk, hogy létezik ilyen fenbontás is:
92+27232+62=(215)2+(35)2.
Ebben a pillanatban meg kell tehát elégednünk az egzisztenciatétel állításával: a felbontás egészek négyzetösszegére létezik.
A probléma egy lehetséges általánosításaként megfogalmazhatunk hasonló kérdéseket az x2+dy2 alakú számok körében is, ahol a d adott egész szám. A Lagrange-azonosság kiterjesztése
(u2+dv2)(x2+dy2)=(ux±dvy)2+d(uyvx)2
most is azonnal adja ‐ anélkül, hogy az x2+dy2 alakú számok prímtényezős felbontásának jellemzésével kellene vesződnünk ‐, hogy az ilyen alakú számok halmaza is zárt a szorzásra nézve. Az eddigiek alapján a hányadosra vonatkozó megfelelő állítás vizsgálata egyáltalán nem látszik könnyűnek; a d=0, illetve 1 esetekben az adott alakú számok prímtényezős felbontásának jellemzéséből kaptuk meg a választ.

Csörnyei Marianna, a University College of London ösztöndíjas kutatója ezt a cikket még a Fazekas M. Fővárosi Gyakorló Gimnázium másodikos diákjaként írta egy órán fölvetett kérdés megválaszolásaként. A cikkben megfigyelhető, hogy a kétfajta megközelítés, az aritmetikai és a szerkezeti, hogyan működik együtt és vezet el a probléma megoldásához.
JSP


A cikkben azt fogjuk megvizsgálni, hogy a d=1-en kívül még milyen pozitív, 1-nél nagyobb d-kre teljesül, hogy ha két x2+dy2 alakú szám hányadosa egész, akkor a hányados is ilyen alakú.
Könnyen belátható, hogy a d nem lehet 1-nél nagyobb négyzetszám. Ugyanis d=d12 esetén d12+d12d12+d02=2, és ez d4 esetén nem írható fel x2+dy2 alakba. Tehát az állításunk biztosan nem fog minden d-re teljesülni.
Mielőtt továbbmennénk, bizonyítsuk be az alábbi tételt:
 
1. Tétel. Ha két x2+dy2 alakú szám hányadosa egész, és az osztó prím, akkor a hányados is x2+dy2 alakú.**
 

Bizonyítás. Két x2+dy2 alakú szám szorzata is ilyen alakú:
(x2+dy2)(z2+dv2)=(xz±dyv)2+d(xvyz)2.(*)

Vizsgáljuk most az a2+db2x2+dy2 törtet, ahol x2+dy2 prím, és x2+dy2a2+db2. A (*) azonosság alapján elég azt megmutatni, hogy a és b felírható
a=xz±dyv(1)b=xvyz(2)
alakba, ahol z és v egész (mert ekkor a hányados z2+dv2 lesz). Az (1) és (2) egyenletekből kifejezve v-t:
v=±ay±bxx2+dy2,
így ahhoz, hogy a v egész legyen, arra van szükség, hogy
x2+dy2ay+bxvagyx2+dy2ay-bx
teljesüljön. Mivel az x2+dy2 prím, azért ehhez elég az
x2+dy2(ay+bx)(ay-bx)
oszthatóságot megmutatnunk:
(ay+bx)(ay-bx)=a2y2-b2x2=a2y2+db2y2-db2y2-b2x2==(a2+db2)y2-(x2+dy2)b2.
Mivel x2+dy2a2+db2, azért így valóban
x2+dy2(ay+bx)(ay-bx),
tehát a két eset (±) közül az egyikben a v egész lesz. Az (1) és (2) egyenletekből könnyen látható, hogy a z racionális. Azt is tudjuk, hogy a z2+dv2 egész, így ha a v egész, akkor a z is biztosan egész.
 
A d=2 eset
 

Be fogjuk bizonyítani, hogy d=2 esetén az állításunk igaz, tehát ha két x2+2y2 alakú szám hányadosa egész, akkor a hányados is ilyen alakú.
Legyenek a Q halmaz elemei azok a p prímek, amelyekre px2+2y2-ből következik, hogy px és py, és legyenek a P1 halmaz elemei azok a prímek, amelyek felírhatók x2+2y2 alakba. Bebizonyítjuk, hogy ekkor minden prím eleme P1-nek vagy Q-nak. A prímeknek ez a felbontása nyilván közös elem nélküli, hiszen p=x2+2y2 esetén 0<|x|<p és 0<|y|<p, tehát p nem oszthatja x-et és y-t. Magát az állítást teljes indukcióval fogjuk bizonyítani.
Az állítás p=2 esetén igaz, mivel 2=02+212, tehát 2P1. Legyen a p>2 prím, és tegyük fel, hogy az összes p-nél kisebb prímről már bebizonyítottuk, hogy eleme P1-nek vagy Q-nak. Tegyük fel, hogy pQ, és bizonyítsuk be, hogy ekkor pP1.
Mivel pQ, azért létezik olyan x és y, amelyre px2+2y2 és py. Szorozzuk meg az x-et és az y-t egy olyan k számmal, hogy yk1(modp) legyen. Nyilván p(xk)2+2(yk)2, és mivel yk1(modp), így p(xk)2+212. Biztos, hogy létezik olyan x1, amelyre x1xk(modp) és |x1|p-12. Így px12+212, ahol
x12+212(p-12)2<p2.

Tehát találtunk egy olyan x2+2y2 alakú számot, amely osztható p-vel és kisebb p2-nél. Így a prímtényezős felbontásában szerepel egy p tényező, és ezen kívül csak p-nél kisebb prímtényezői vannak, amelyekre teljesül az indukciós feltevésünk. Ha vannak Q-beli prímosztói, akkor osszuk el ezekkel az x-et és az y-t. Így egy olyan x2+2y2 alakú számot kapunk, amely osztható p-vel, és ezen kívül csak P1-beli, azaz x2+2y2 alakú prímosztói vannak. Ezekkel az 1. Tétel alapján sorra leoszthatunk, végül p marad, és ezt a p-t x2+2y2 alakban fogjuk megkapni. Így valóban pP1.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy minden prím eleme P1-nek vagy Q-nak. Most vizsgáljuk az
x2+2y2z2+2v2
törtet. Ha a (z2+2v2)-nek van Q-beli prímosztója, akkor azzal eloszthatjuk az x, y, z, v számokat. Így egy olyan
x12+2y12z12+2v12
törtet kapunk, ahol a z12+2v12 csupa P1-beli, azaz x2+2y2 alakú prím szorzata. Az 1. Tétel alapján ezekkel lehet egyszerűsíteni, így velük sorra egyszerűsítve végül egy x2+2y2 alakú számot fogunk kapni.
Ezzel az állításunkat d=2-re bebizonyítottuk.
 
Megjegyzés. Hasonlóan bizonyíthatunk d=1 esetén is. Legyenek most a Q halmaz elemei azon p prímek, amelyekre px2+y2-ből következik, hogy px, py, és legyenek a P1 halmaz elemei az x2+y2 alakú prímek. A fentiekhez hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy minden prímszám eleme P1-nek vagy Q-nak, majd hogy ha két x2+y2 alakú szám hányadosa egész, akkor az is x2+y2 alakú.
A bizonyítás alapján azt is könnyen megmondhatjuk, hogy mely számok írhatóak fel x2+y2 alakba: azok és csak azok a számok, amelyek prímfelbontásában a Q-beli prímek páros kitevőn szerepelnek. A Q-beli prímek pedig azok, amelyekre a -1 négyzetes nemmaradék modulo p, vagyis a 4k+3 alakú prímek.
Így egy elemi és nem túl bonyolult bizonyítást kaptunk arra, hogy azok és csak azok a számok írhatóak fel két négyzetszám összegeként, amelyek prímtényezős felbontásában a 4k+3 alakú prímek páros kitevőn szerepelnek.

Ha ugyanezt kérdezzük a most vizsgált számokról, akkor a d=1 esethez hasonlóan itt is annyit mondhatunk, hogy azok a számok írhatók x2+2y2 alakba, amelyek prímtényezős felbontásában a Q-beli prímek páros kitevőn szerepelnek. A Q-beli prímek: 5, 7, 13, 23, 29, 31, .... szerkezete azonban egyáltalán nem olyan egyszerű, mint a d=1 esetben.
Csörnyei Marianna


*A két négyzetszám összegeként felírható számok aritmetikájában alapvető szerepe van az ún. Lagrange-azonosság idevonatkozó speciális esetének:
(u2+v2)(x2+y2)=(ux+vy)2+(vx-uy)2=(ux-vy)2+(vx+uy)2.
Ezzel a négyzetszámok összegeként felírható számok szorzatára vonatkozó állítás aritmetikai magyarázatát kapjuk, az azonosság ténylegesen előállítja a szorzatot két négyzetszám összegeként.

**A tételt feladatként tűztük ki a KöMaL 2000/7. számában. A feladat száma helyesen: B. 3400.