Cím: A 41. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet: 2000/szeptember, 326 - 328. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Első nap
 

 
1. A Γ1 és Γ2 körök az M és N pontokban metszik egymást.
Legyen a Γ1 és Γ2 köröknek az a közös érintője, amelyre teljesül, hogy M közelebb van -hez, mint N. Érintse  Γ1-et az A és Γ2-t a B pontban. Legyen az M-en átmenő, -lel párhuzamos egyenes másik metszéspontja a Γ1 körrel C, a Γ2 körrel pedig D.
A CA és DB egyenesek metszéspontja legyen E; az AN és CD egyenesek metszéspontja legyen P; a BN és CD egyeneseké pedig legyen Q.
Bizonyítsuk be, hogy EP=EQ.
 
2. Legyenek a, b, c olyan pozitív valós számok, amelyekre abc=1 teljesül. Bizonyítsuk be, hogy
(a-1+1b)(b-1+1c)(c-1+1a)1.

 
3. Legyen n2 pozitív egész szám. A kiinduló állásban n bolha ül egy vízszintes egyenesen, nem mind ugyanabban a pontban.
Egy λ pozitív valós számra definiáljunk egy lépést a következőképpen:
*válasszunk ki két bolhát, amelyek az A és B pontokban ülnek, ahol A balra van B-től;
*ugorjon az A-n lévő bolha az egyenesnek abba a C pontjába, ami jobbra van B-től, és amelyre BC/AB=λ teljesül.

Határozzuk meg az összes olyan λ értéket, amelyre teljesül, hogy akárhogyan választva az M pontot az egyenesen, és akárhogyan választva az n bolha kiindulási pozícióját, létezik lépéseknek egy olyan véges sorozata, amelyek végrehajtása után az összes bolha M-től jobbra helyezkedik el.
 
 
 
Második nap
 

 
4. Egy bűvésznek száz kártyája van, amelyek 1-től 100-ig vannak számozva. Mindegyiket beleteszi három doboz ‐ egy piros doboz, egy fehér doboz és egy kék doboz ‐ valamelyikébe, olymódon, hogy mindegyik dobozban van legalább egy kártya.
A közönség egy tagja kiválaszt kettőt a három doboz közül, és mindegyikből kivesz egy kártyát, majd kihirdeti a kivett kártyákon lévő két szám összegét. Ennek az összegnek az ismeretében a bűvész meg tudja mondani, hogy melyik az a doboz, amiből nem vettek ki kártyát.
Hányféleképpen lehet a kártyákat a dobozokban úgy elhelyezni, hogy ez a mutatvány mindig sikerüljön? (Két elhelyezést különbözőnek tekintünk, ha van legalább egy kártya, ami másik dobozba kerül.)
 
5. Döntsük el, hogy létezik-e olyan n pozitív egész szám, amelyre teljesül, hogy n pontosan 2000 különböző prímszámmal osztható, és 2n+1 osztható n-nel.
 
6. Legyenek AH1, BH2, CH3 az ABC hegyesszögű háromszög magasságai. Az ABC háromszög beírt köre a BC, CA, AB oldalakat rendre a T1, T2, T3 pontokban érinti. Legyenek az 1, 2, illetve 3 egyenesek a H2H3, H3H1, illetve H1H2 egyenesek tükörképei a T2T3, T3T1, illetve T1T2 egyenesekre.
Bizonyítsuk be, hogy 1, 2, 3 egy olyan háromszöget határoznak meg, amelynek csúcsai az ABC háromszög beírt körén vannak.
 
 
Még néhány szó az olimpiáról
 
 

A Nemzetközi Matematikai Diákolimpián további négy magyar diák is eredményesen szerepelt, mindegyikük részt vett és jó helyezést is ért el a KöMaL elmúlt tanévi pontversenyében.
Kunszenti-Kovács Dávid, a norvég csapat legjobbja 16 ponttal bronzérmet, Keszegh Balázs, a szlovák csapat legeredményesebb versenyzője 25 ponttal ezüstérmet szerzett. Koch Dénes az osztrák csapat tagjaként 11 ponttal bronzérmet, Tóth Ferenc, az ukrán csapatból egy feladat teljes megoldásáért dicséretet kapott.
Mindannyiuknak gratulálunk!
a Szerk.