Cím:	A 41. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2000/szeptember, 326 - 328. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Első nap     1. A ${\Gamma }_1$ és ${\Gamma }_2$ körök az $M$ és $N$ pontokban metszik egymást. Legyen $\ell$ a ${\Gamma }_1$ és ${\Gamma }_2$ köröknek az a közös érintője, amelyre teljesül, hogy $M$ közelebb van $\ell$-hez, mint $N$. Érintse $\ell$  ${\Gamma }_1$-et az $A$ és ${\Gamma }_2$-t a $B$ pontban. Legyen az $M$-en átmenő, $\ell$-lel párhuzamos egyenes másik metszéspontja a ${\Gamma }_1$ körrel $C$, a ${\Gamma }_2$ körrel pedig $D$. A $CA$ és $DB$ egyenesek metszéspontja legyen $E$; az $AN$ és $CD$ egyenesek metszéspontja legyen $P$; a $BN$ és $CD$ egyeneseké pedig legyen $Q$. Bizonyítsuk be, hogy $EP=EQ$.   2. Legyenek $a$, $b$, $c$ olyan pozitív valós számok, amelyekre $abc=1$ teljesül. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\le 1.}\end{array}$   3. Legyen $n\ge 2$ pozitív egész szám. A kiinduló állásban $n$ bolha ül egy vízszintes egyenesen, nem mind ugyanabban a pontban. Egy $\lambda$ pozitív valós számra definiáljunk egy lépést a következőképpen: * válasszunk ki két bolhát, amelyek az $A$ és $B$ pontokban ülnek, ahol $A$ balra van $B$-től; * ugorjon az $A$-n lévő bolha az egyenesnek abba a $C$ pontjába, ami jobbra van $B$-től, és amelyre $BC/AB=\lambda$ teljesül. Határozzuk meg az összes olyan $\lambda$ értéket, amelyre teljesül, hogy akárhogyan választva az $M$ pontot az egyenesen, és akárhogyan választva az $n$ bolha kiindulási pozícióját, létezik lépéseknek egy olyan véges sorozata, amelyek végrehajtása után az összes bolha $M$-től jobbra helyezkedik el.       Második nap     4. Egy bűvésznek száz kártyája van, amelyek 1-től 100-ig vannak számozva. Mindegyiket beleteszi három doboz ‐ egy piros doboz, egy fehér doboz és egy kék doboz ‐ valamelyikébe, olymódon, hogy mindegyik dobozban van legalább egy kártya. A közönség egy tagja kiválaszt kettőt a három doboz közül, és mindegyikből kivesz egy kártyát, majd kihirdeti a kivett kártyákon lévő két szám összegét. Ennek az összegnek az ismeretében a bűvész meg tudja mondani, hogy melyik az a doboz, amiből nem vettek ki kártyát. Hányféleképpen lehet a kártyákat a dobozokban úgy elhelyezni, hogy ez a mutatvány mindig sikerüljön? (Két elhelyezést különbözőnek tekintünk, ha van legalább egy kártya, ami másik dobozba kerül.)   5. Döntsük el, hogy létezik-e olyan $n$ pozitív egész szám, amelyre teljesül, hogy $n$ pontosan 2000 különböző prímszámmal osztható, és $2^n+1$ osztható $n$-nel.   6. Legyenek $A{H}_1$, $B{H}_2$, $C{H}_3$ az $ABC$ hegyesszögű háromszög magasságai. Az $ABC$ háromszög beírt köre a $BC$, $CA$, $AB$ oldalakat rendre a $T_1$, $T_2$, $T_3$ pontokban érinti. Legyenek az ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, illetve ${\ell }_3$ egyenesek a $H_2{H}_3$, $H_3{H}_1$, illetve $H_1{H}_2$ egyenesek tükörképei a $T_2{T}_3$, $T_3{T}_1$, illetve $T_1{T}_2$ egyenesekre. Bizonyítsuk be, hogy ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, ${\ell }_3$ egy olyan háromszöget határoznak meg, amelynek csúcsai az $ABC$ háromszög beírt körén vannak.     Még néhány szó az olimpiáról     A Nemzetközi Matematikai Diákolimpián további négy magyar diák is eredményesen szerepelt, mindegyikük részt vett és jó helyezést is ért el a KöMaL elmúlt tanévi pontversenyében. Kunszenti-Kovács Dávid, a norvég csapat legjobbja 16 ponttal bronzérmet, Keszegh Balázs, a szlovák csapat legeredményesebb versenyzője 25 ponttal ezüstérmet szerzett. Koch Dénes az osztrák csapat tagjaként 11 ponttal bronzérmet, Tóth Ferenc, az ukrán csapatból egy feladat teljes megoldásáért dicséretet kapott. Mindannyiuknak gratulálunk! a Szerk.